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TOX 00000
基本 例題108 素数の問題
(1) nは自然数とする。 n +2n−24 が素数となるようなn をすべて求めよ。
(2),g,r p <g <r である素数とする。 等式r = g² -p を満たす, Q, r
(2) 同志社大
組 (p,q, r) をすべて求めよ。
指針>
素数の正の約数は 1
自分自身) だけである
このことが問題解決のカギとなる。 なお,素数は2以上 (すなわち正)の整数である。
(1) n²+2n-24=(n-4)(n+6)
これが素数となるには,n+6>0とより,n-4
n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する
と, おのずとn-4=1に決まる。
(2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r gtpq -p0rは素数であることに注
目すると g-p=1
奇士=
奇
ここで, g, pはその差が奇数となるから,
一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ
である」という性質を利用すると、 の値が2に決まる。
|=|
【CHART 素数 正の約数は1とその数だけ
解答
(1) n²+2n−24=(n-4)(n+6)
①
nは自然数であるから n +6>0 また n-4<n+6
n²+2n−24 が素数であるとき, ① から n-4>0
よって
n-4=1
ゆえに
n=5
このとき
n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11
これは素数であるから, 適する。
したがって
n=5
(2) r=q²-p²b²5
練習
③108
(q+p)(q-p)=r (2)
0 <g-p <g+p
0 <p <g <rであるから
①が素数であるから, ② より
gtp=r, g-p=1
gp=1 (奇数)であるから, g, p は偶奇が異なる。
更に, p<g であるからp=2
よって g=3
ゆえに
r=3+2=5
したがって
(p, q, r)=(2, 3, 5)
偶数の素数は2だけ
POINT 2 整数の和 (または差)が偶数
2 整数の和 (または差)が奇数
· (*)
H
まず, 因数分解。
(*) n-4=1が満たされて
もn+6=(合成数)となって
しまっては不適となる。 その
ため、²+2-24が素数と
なることを確認している
[n+6=5+6=11 (素数) の
確認だけでも十分である]。
素数は2以上の整数。
のどちらか一方は?
(イ) n²-16n+39
(2) は素数とする。²を満たす白然数①(
となる。
2整数の偶奇は一致する
2整数の偶奇は異なる
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(1) 自然数とする。 次の式の値が素数となるようなn をすべて求めよ。
(7) n²+6n-27
前存在しないとき、
