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442 第7章 積分法
例題 251
絶対値を含む関数と面積
mを正の定数とする。 直線L:y=mx と曲線 C:y=x²-x|の異な
る共有点の個数が3個のとき、 次の問いに答えよ.
考え方 直線Lと曲線Cは原点を通り, 右の図のようになる。
(1) x2-x=mx (x ≦0, 1≦x) -x2+x=mx (0≦x≦1)
の異なる実数解の個数が3個となるmの値の範囲を
求める. または, 直線Lと曲線Cの異なる共有点の
個数が3個となるときの直線Lの傾きからの値の
範囲を調べる。
(2) 公式f(x)(x-β)dx=-212 (B-α) を利用する.
解答
(1) mの値の範囲を求めよ。
(2) 直線と曲線Cとで囲まれる部分の面積Sの最小値を求めよ.
=-fo"x{x-(1-m)}dx
=1/12 ((1-m-03=12/12(1-m)。
C
m
ya
0
C
(1)|x²-x|=|
[x²-x (x≤0, 1≤x)
x2+x (0≦x≦1)
また,直線Lは原点を通る傾きm (m>0) の直線である。
x2-x=mx とおくと, x(x-1-m)=0 より,
m>0 より,この2つの解はx≦0, 1≦x を満たす.
x2+x=mx とおくと, x(x-1+m)=0 より, x=0, 1-m
x=1-m が0<x<1,つまり, 0<1-m<1より, 0<m<1を満たせば,
直線Lと曲線Cの異なる共有点の個数は3個となる.
よって、
0<m<1
(別解)y=-x2+x において,y'=-2x+1 より,
x=0 のとき,y'=1 であるから, 放物線
=-x2+xの原点における接線の傾きは18
である.
O
m=0 1x
よって、 右の図より, 直線Lと曲線Cの異なる共有点の個数が3個と
なるときの直線Lの傾きの値の範囲は,
YA S₁
S2
US
(2²)=[S+S
0<m<1
(2)直線と曲線Cとで囲まれる部分のうち,
1938 1
0≦x≦1mの部分の面積を Si, 1-m≦x≦1+mの
部分の面積を2 とし, 直線と曲線 y=x2-x とで
囲まれる部分の面積をS3, x軸と曲線 y=x²-xとで、
囲まれる部分の面積をS4 とすると, S2=S+S3-2S4
したがって, S=S+S2=2Si+ Sa-2.SA....
直線と曲線Cの共有点のx座標は,
x=0, 1-m,1+mであるから,
Si=$"{(-x2+x)-mx}dx
****
x=0, 1+m
y4
O
1-m
|x2-x|=|x(x-1)|
YA
y4
y
/m=1
1-m'
1+m
S3
SA
x
1/x
1+m
1+m
1+m
