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基本例題 244 面積の最大最小 (1)
点 (1, 2) を通る直線と放物線y=x² で囲まれる図形の面積をSとする。 S
AA ARŠNODUR
小値を求めよ。
指針 点 (1,2) を通る直線の方程式は,その傾きを m とすると,y=m(x-1)+2と表され
まず, この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, BでSを表す。
このとき, 公式f(x-a)(x-3)dx=-12 (B-α) が利用できる。
更に,S を m の関数で表し,mの2次関数の最小値の問題に帰着させる。
解答
点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は
y=m(x-1)+2 ...... ① と表される。
直線 ① と放物線y=x2 の共有点のx座標は, 方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)2+4
常に D>0 であるから, 直線 ① と放物線y=x2 は常に異なる
2点で交わる。
その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると
s=${m(x-1)+2-x*}dx=-
= -√²₂(x²-₁
T
2-mx+m-2)dx
=-f(x-a)(x-B)dx=1/12(B-α)
また
B-α=
m+√√D m-√√√D
-=√D=√(m-2)² +4
2
2
したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき
(B-α)も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)-1/30
adst
7-8-9 adot
x2-mx+m-2=0の2つの解をα, β とすると
よって
ゆえに
(B-a)²=(a+β)²-4aβ=m²-4(m-2)=(m−2)²+4
3₁
点 (1,2)を通りに
な直線と放物線y=x^
まれる図形はない。 よって
x軸に垂直な直線は考えな
てよい。
X=-
検討 β-αに解と係数の関係を利用
S=1/12 (B-4)において, (B-α)の計算は 解と係数の関係を使ってもよい。
a+β=m,aβ=m-2
(1,2)
α, βは2次方程式
x²-mx+m-2-00
TS,
mt√m²-4m+!
2
S=— (B—a)³= ¹ {(B—a)³²}* = = = {(m−2)² + 4) ³ ≥ — • 4³-4
6
m²-4m+8=D
XD-M300 TIROMA
