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+1)
求めよ。
1. 基本 65
では
3)',
74 第2次導関数と等式
v=log(1+cosx) のとき,等式 y” +2e-x=0を証明せよ。
((1) y=
(2) y=esinx に対して, y" = ay+by' となるような実数の定数 α, bの値を求
2x,
めよ｡
指針
第2次導関数y" を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はとも
にの恒等式である。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本73
解答
例題
基本的
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
e
xで表すには、等式 elogp=カを利用する。
(2)y',y" を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 なお,係数比較法を利用す
→
ることもできる。
→解答編 p.94 の検討 参照。
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
y'=2.
1+cosx
2{cos x(1+cos x)-sinx(-sinx)}
(1+cos x)²
32
1+cos x
よって
y"=
2(1+cosx)
(1+cos x)²
また, //=log(1+cosx) であるからex=1+cosx
2
ゆえに
1+cosx
2e = 2
est
y" +2e=2=--
=
また, x=
2
2
よって
1+cosx 1+cosx
(2) y'=2e²x sinx+e²x cos x=e²x (2 sinx+cosx)
y”=2e2(2sinx+cosx)+e2(2cosx-sinx)
2sinx
1+cosx
=e2x(3sinx+4cosx)
ゆえに ay+by' = aesinx+be2x (2sinx+cosx)
......
+
を代入して
①
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
=0
y" = ay+by に ① ② を代入して
e2x (3sinx + 4cosx)=e^x{(a+2b)sinx+bcosx}
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
π
3e=e¹(a+2b)
(3)
4=b
...
<log M = klog M
なお, -1≦cosx≦1と
(真数)>0 から
1+cosx>0
Az el
sin²x+cos2x=1
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
4(e2*)(2sinx+cosx)
+ex (2 sinx+cos.x)'
131
【参考】 (2) のy"=ay+by
のように、未知の関数の
導関数を含む等式を微分
方程式という (詳しくは
p.353 参照)。
1③が恒等式③に
x=0,177 を代入しても
成り立つ。
これを解いて a=-5,6=4
このとき (③の右辺)
=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺)逆の確認。
したがって
a=-5, 6=4
2017AB DE
2 [9] JO
(1) y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+1)y"+xy'=0 を証明せよ。
③74 (2) y=e2x+exy"+ay' + by = 0 を満たすとき,定数a, bの値を求めよ。
[(1) 首都大東京, (2) 大阪工大】 p.139 EX67~69
3章
⑩ 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数
11
