なぜ中央値を2.4と2.7の間といえるのですか？2.4+2.7=5.1だからというのはわかるのですが、なぜ0.6を足した数学と変化しなかった数値を足して5.1になるところがないと言い切れるのですか？ (0.6+⬜︎)+⬜︎=5.1

①ある高校で,エコ活動としてペットボトルのキャップを集めている。 次のデー タは,1か月ごとに集まったキャップの重量を半年間記録したものである。 3.2 1.2 2.3 2.0 2.7 2.4 (単位はkg) (1) 中央値と平均値を求めよ。 (2)上記の6個の数値のうち1個が誤りであることがわかった。 正しい数値に 基づく中央値と平均値は, それぞれ2.55kg と2.4kgであるという。誤って いる数値を選び, 正しい数値を求めよ。 1.2 2.0 2.3 24 2,7 3.2 中央値 2.35kg [ 5.1 中央値をとる 平均値 xx. 24 2.0 21.8 23 6)13,8 18 2.3kg 27 3.2 13,8 (2) ①1/2(23+α)=2.55 2.3+x =5.1 x=28 ← 27とその 平均になる× IN 12/12 (24+x) = 2.55 ←と2.4の平均 x = 2.9 正中央値を求める2つのデータの和は 255×2=5.1(kg) また、正しい値の総和は2.4×6=14.4(kg) 誤りの値の総和は2.3×6=13.8(kg) よって誤りの数値は14.4-13.8=0.6(k)増加している 2.4+2.7=5.1であるから 誤りは1.21 2,0 ●2.3のいずれかであるが 0.6を加えて2.7以上になるものだから 2.3 72.9 (kg) 解答 (1) 中央値 2.35kg, 平均値 2.3kg (2)誤っている数値2.3kg, 正しい数値 2.9kg

なぜxとyを整数としているのですか？nは自然数だからxとyは自然数とするべきだと思います。

22(1) 22 (1) 3で割ると1余り, 7で割ると3余るような自然数のうち, 3桁で最大の ものと最小のものを求めよ。 [解答 最大のもの、 最小のものの順に (1) 997, 115 84 (1) 求める自然数を とすると, nはx,yを整数として,次のように表される。 n=3x+1, n=7y+3 3x+1=7y+3 よって すなわち 3x-7y=2 ・・・・・・ .. ① x=3, y=1は、①の整数解の1つであるから 3-3-7-1=22 ①-②から3(x-3)-7(y-1)=0 すなわち 3(x-3)=7(y-1) 991 3とは互いに素であるから, x-3は7の倍数である。 よって, を整数として, x-3=7k と表される。 ゆえに したがって x=7k+3 n=3x+1=3(7k+3)+1=21k +10

なぜ最大公約数が1のときn=2としているのですか？また、n+5=7だと適するのはなぜですか？n=2以下も同様にわかりません。

12 20 ① 18 は自然数とする。 n2+7n+36とn+5の最大公約数として考えられる数をす べて求めよ。 GCD fr og. 公 CD n+7n+36=(n+5)(n+2)+26から n2+7n+36とntsの最大公約数は h+5と26の最大公約数に等しい。 考えられる数は26の正の約数で 1.2.13.26 G.C.D,がりのときん=zとするとh+5=7より直する 2のときη=1とするとん+5=6より適 13のときんこ8とするとhts=13より道 26のときん=21とするとん+5=26より満

(2)がわかりません。2の27乗≦となるのに、Nを2進法で表すと28桁、29桁、30桁となるのはなぜですか？27桁、28桁、29桁ではないのですか？

150 n進数の桁数 (1) 2進法で表すと10桁となるような自然数 N は何個あるか。 00000 (1) 昭和女子 (2)8進法で表すと 10桁となる自然数Nを,2進法, 16進法で表すと,それぞ れ何桁の数になるか。 基本 146 149 指針 例えば、10進法では3桁で表される自然数 A は,100 以上1000未満の数である。 よって, 不等式 10°≦A<10° が成り立つ。 指数の底はそろえておく方が考えやすい。 法で!! 2 また, 2進法で表すと3桁で表される自然数Bは, 100 (2) 以上 1000 (2) 未満の数であり、 く10 100(2)=22,1000 (2)=23 であるから,不等式 2%≦B<23 が成り立つ。同様に考えると、 3n進法で表すとα 桁となる自然数 N について,次の不等式が成り立つ。 桁行く103 たから、 na-1≤N<na ←nsN<na+1ではない! が成り立つ。 別解 場合の数の問題として考える。 条件から,210-1≦N<210 (1) (2)条件から 810-1≦N<8 が成り立つ。この不等式から,指数の底が2または16 のものを導く。8=2, 16=24 に着目し,指数法則 am+"=ama", am)"a" を利用 して変形する。 解答 n進数Nの桁数の問題 CHART まず、不等式 * 桁数 1 N n桁数の形に表す (1) Nは2進法で表すと10桁となる自然数であるから この不等式を満たす自然数Nの個数は 210-1210 すなわち 2°≦N <210 210−2°=2°(2-1)=2°=512(個) 別解 2進法で表すと, 10桁となる数は, ロロ (2) の口に0または1を入れた数であるから,この場合の 数を考えて 2°=512 (個) 210 ≦N < 210+1は誤り ! 2° N20-1と考えて, (2-1) 2°+1として 求めてもよい。 重複順列。 (2) Nは8進法で表すと10桁となる自然数であるから 8101N810 すなわち 8°N<810 ① ①から (23) 9≤N<(23) 10 すなわち 227N230 (2) 228 227≦N < 228 から28桁 入力 したがって, Nを2進法で表すと, 28桁, 29 桁, 30桁 228 N <229 から 29桁 の数となる。 229N <2%から30桁 ゆえに また②から (24) 23 N<(24)-22 8・16°≦N <4・167 16°<8・16°, 4・167 <16° であるから 16° <N < 16° したがって, Nを16進法で表すと, 7桁, 8桁の数と なる。 16° <N <16′から7桁 167N < 16°から8桁

(4)がわかりません。101は110を2で割り切れるのではないのですか？

(4)1101001 (2)÷101 (2) 2進法] 同様に,各位の数を縦に並べて計算するとよい。 がる。 [5進法] 和が5になると繰り上がる。 繰り下がり (下の桁に数を下ろす)に注意して,各 基本 146 指金 さて行う。 乗法について × 1 2 3 4 は,右の表 1 1 2 3 4 (四四?) も参照。 23 2 2 4 11 13 3 3 11 14 22 4 4 13 22 31 J上がる 足りないときはnを繰り下げる て計算。 最後にn 進数に直す。 最も確実 て (2) 3420 (5)-2434 (5)=431(5) 34205進法では 10 2434-4 431 11 13 3 - 4 1 3 4 16-3=3 (4) 1101001 (2)÷101(2)=10101 (2) 10101 2進法では 101)1101001 110 -101 1 101 110 [10進法では 101 110 (2)=6,101 (2)=5 101 であるから 6-5=1 101 0 うになる。 (3) 108 × 17 1836=24321 (5) (4) 21=10101(2) 5)105 105 0

1の問題のように人の指定(誰が何点か)がなくて、同じ点数の人でまとまっているときはどのように計算しますか？3枚目のような考え方であっていますか？

1 20 人の生徒に,数学と国語の5点満点の小テストを行った。数学の得点 をx 点,国語の得点をy点とする。 そのときの結果が次の表である。 例えば,数学が3点、国語が4点の生徒は7人いることが分かる。 このとき、次の間に答えよ。 -2-1 5 41 +2 x 0 (1) 2 3 4 LO 5 計 y 5 1 $3 4 0 4 3 7 1 1 12 ~ 3 3 1 4 -22 -31 0 0 0 0 C 計 0 3 3 9 1 4 20 (1)xの平均値と,yの平均値を求めよ。 (2)xとyの分散は,右の表のようになる。 xとyの相関係数 rを求めよ。 数学 国語 分散 1.6 0.4

(2)で3y=と式変形をするのはなぜですか？係数が最大だとなぜやりやすいのですか？

134 演習 例題 140 方程式の整数解 (1) ･･･ 絞り込み1 やる 00000 (1) 方程式 2x+3y=33 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。 [類 福岡工大] (2) 方程式x+3y+z=10を満たす自然数x, y, zの組の数を求めよ。 [法政大 指針 このような不定方程式の自然数の解を求める問題では, が 自然数 (正の整数) →→ >0, (1) 方程式から 2x=3(11-y) 基本 135 136 ≧1 という条件を活かし、値を絞る。 2と3は互いに素であるから, 11-yは正の偶数で,yの値が絞られる。 x, yは自然数であるから x0y > 0 (2)係数が最大のyについて解き, x≧1,z≧1であることを利用すると 3y=10-(x+z)≦10-(1+1)=8 つまり 3y≦8 をすべて (神戸) カード 4章 2 関連発展問題(方程式の整数解) ードの る。 る。 蹊大 ] また、 大 36 解答 → これからまずyの値を絞る。 CHART 方程式の自然数解 不等式にもち込み 値を絞る (1) 2x+3y=33から 2x=3(11-y) ① x,yは自然数, 2と3は互いに素であるから, 11-yは 正の偶数で yの値はそれぞれ 11-y=2,4,6,8,10 y=9, 7, 5, 3,1 ② または②' を①に代入してxの値を求めると 2' (x, y)=(3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1) 別解 ①で2と3は互いに素であるから, kを整数とすると x=3k>0,y=-2k+11>0. A より この範囲にある整数は k=1,2,3,4,5 これをAに代入すると, 上と同じ解が得られる。 (2) x+3y+z=10から 3y=10-(x+z)≦10-(1+1) したがって 3y≤8 +1301 +$7 yは自然数であるから y = 1, 2 3y=33-2x とすると 絞り込みが面倒。 xの値は,② を ①に代 入するのが早い。 11-y=2(y=9) のとき 2x=3.2 11-y=4(y=7)のとき 2x=3.42 11 から, x=6 など。 2 (≧(1) Jei 指針 ★ の方針。 x1, 2≧1であるから x+z1+1 って [1] y=1のとき, x+z=7 を満たす自然数x, zの組は(x+2)-(1+1) (x, z)=(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) E- [2] y=2のとき, x+z=4を満たす自然数x, 2の組は (x, z)=(1, 3), (2, 2), (3, 1) 6+3=9 2) 向きが変わる。 Joi 34-1 以上から、 求める組の数は

下のようになるのはなぜですか？ n≡…のところがわかりません。

3であったときの余りに着目 mod3 として n = 1 n=2

鉛筆で線を引いた部分がわかりません。なぜこの不等式が成り立つのですか？-mはどこからきたのですか？

SEA 解説 ■合同式 =3のとき +2=5, +4=7 aとbがm を法として合同であるとき,次の関係が成り立つ。 「合同」という用語は、 図形で用いられてき a=b(mod m) 歌のときちうるうたが,ここでは、多 a-bgmの倍数 [a-b=mk (k は整数)] (αをmで割った余り)=(bmで割った余り) 定義 自 ② 数に関する合同を考 える。 mod は, modulus [説明 a=mg+r,b=mg'+r(0≦x<m,0≦x<m)とすると「法」という意味 a-b=m(g-g)+r-r ①, -m<r-r'<m a=b (mod m) のとき,a-b は m の倍数であるから,r-rもの倍 数である。 ここで, ② の範囲にあるm の倍数は0のみであるから rr=0 すなわ 逆に,r=r' のとき,① から a-b= (大したがって, a-bはの倍数である。 例 23=3・7+2,5=3・1+2 であるから 13=7・1+6, -8=7・(-2)+6であるから に由来している。 ①の左辺はmの倍 数であり,右辺の (g-g)もの倍 数であるから, でなければならない。 Tecor-r's m 23=5 (mod3) 13=-8 (mod 7)

なぜある素数pを公約数に持つと仮定するのですか？素数にする理由がわかりません。

→□は成り立つ CHART 互いに素であることの証明 530 基本例題 121 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数 α に対して, αともが互いに素ならば, α+bと abは互いに素である ことを証明せよ。 /p.525 基本事項 重要 121 指針 atb と abの最大公約数が1となることを直接示そうとしても見通しが立たない。 背理法> そこで, 背理法 (間接証明法) コは成り立たないと仮定→atbabが互いに素でない, すなわち, a + b と αb はある素数を公約数 ・矛盾 にもつ, と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。 ただし, m, n は整数である。 考 ※素数 る方 しつ mn が素数の倍数であるとき, mまたはnはかの倍数である。 1 最大公約数が1を導く 2 背理法(間接証明法)の利用 n a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a +6とabは T a+b=pk 解答 ある素数を公約数にもつと仮定すると ①, ab=pl ② と表される。 ただし, k, lは自然数である。 ② から, α または は の倍数である。 k-m は整数。 aがpの倍数であるとき,a=pm となる自然数 mがある このとき,①から,b=pk-a=pk-pm=p(k-m) とな りもの倍数である。 (+1)8=8+18=8+(1+a これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがの倍数であるときも, 同様にしてαはかの倍数であα=pk-b とが互いに素で ...... ない mnが素数を 公約数にもつ り αとが互いに素であることに矛盾する。 したがって, a+babは互いに素である。 W/S 10=p(k-m') (m' は整数) [参考] 前ページの基本例題 120 (2)の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は,整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個存在することを証明せよ。 証明 n」 を2以上の自然数とすると+1は互いに素であるから,(1)は異な る素因数を2個以上もつ。 同様にして, ns=nz (n+1)=(n+1)(n+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから, 素数は無限個存在する。 素数が無限個存在することの証明は, ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名で あるが,上の証明は, 21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された とても簡潔 な方法である。 次ページで詳しく取り上げたので参照してほしい。