少なくとも~
重要 例題 25
a b c は実数とする｡
(1) abc=1,a+b+c=ab+bc+ca のとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1
であることを証明せよ。
(2)a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b,c はすべて1であることを証明せよ。
指針> まず結論を式で表すことを考えると,次のようになる。
(1)a,b,cのうち少なくとも1つは1である
⇔a=1 または b=1 またはc=1
この〜の証明
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇒(a-1)(b-1)(c-1)=0*********
(2) a,b,c はすべて1である⇔a=1 かつ b=1 かつc=1
⇔a-1=0 かつb1=0 かつc-1=0
(a-1)+(6-1)'+(c-1)^=0
よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように、結論から方針を立て
ることは､証明に限らず、 多くの場面で有効な考え方である。
CHART 証明の問題 結論からお迎えに行く
(1) P = (a-1)(6-1)(c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1 とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
練習
25
よって α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
したがって, a, b,cのうち少なくとも1つは1である。
(2) Q=(a-1)+(1-1)+(c-1)^ とすると
Q=a²+b²+c²-2(a+b+c)+3
ここで、(a+b+c)=a+b+c^²+2(ab+bc+ca) であるから
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=3²-2-3=3
ゆえに Q=3-2・3+3=0
よって α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって, a, b,cはすべて1である。
a+b+c
<ABC=0
A=0または B = 0
または C = 0
<A'+B2+C'=0
⇒A=B=C=0
a b c d は実数とする。
1,1,1
+ + =
a
C
ことを証明せよ。
(2) +++=a+b+c+d=4のとき, a=b=c=d=1であることを証明
のときa,b,cのうち、どれか2つの和は0である
1章
5等式の証明
