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例題
284
自然数1,2,
いろいろな数列の和 (1)
2 いろいろな数列
***
nについて,この中から異なる2つの自然数を選び,
その積を計算する. このようにしてできる積の総和 Sm を求めよ.
考え方 たとえば, 3つの数a, b, cで考えてみると
舞台
T=ab+bc+ca が求める積の総和であり,さらに,
(a+b+c)2=a+b2+c+2(ab+bc+ca)
=a+b2+c+2T
2), T=(a+b+c)2- (a²+b²+c²)} ¿ts.
この考え方を1, 2, 3, ......, nについて用いる.
123
n
1
2
... n
6.2n
336
... 3n
2 2
nn 2n3n...
S=(1×2+1×3+... +1×n)+(2×3+2×4+…+2xn)+…+(n-1)×n
上の表の部分の和になっている.)
3つの数の場合と同様に考えると,
(1+2+3++n)=(12+2+32++n²)+2S” であることがわかる.
(1+2+3+…+n)=(12+2+32 +…+n)+2S,より,
Sn= {(1+2+3+..+n)-(12+22+32+…+n2)}
(
k:
n
\2
n
k=1
11/11/12n(n+1)-1/n(n+1)(2n+1)]
考え方を参照
499
第8章
-n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)}
24
=
24
注 自然数1, 2,......,n
(n-1)n(n+1)(3n+2)
nに関して,この中の自然数んとその他の自然数との積の和は,
k(1+2+......+n)k と表せる.
n
1
2n(n+1)で
くる。
これを用いると,2×Sn=_{k(1+2+
・+nk2}となる.
k=1
注》P=(x+1)(x+2)(x+3)×......×(x+n)の展開式はxのn次式となる.
このとき x” の係数は 1,
xn-1 の係数は 1+2+......+n=
=1/2n(n+1)となる。
(x+n)のn個の( )について,
では,x-2の係数はどのようにして求めればよいだろうか.
Pを展開する際に,(x+1)(x+2), (x+3,
)から数字を残り (n-2)個の()からxを選んで積を求めれば,
2個の
x-2 の項を作ることができる.
したがって, xn-2の係数の総和は、例題 284 と同様に考えればよい.
つまり,x2の係数は
-(n-1)n(n+1)(3n+2) となる.
24
