基本 例題107 アポロニウスの円
2点A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
指針> 定点は A(-4, 0), B(2, 0)
条件を満たす任意の点を P(x, y) とすると,条件は
このままでは扱いにくいから, a>0, b>0のとき,a=b→d= の関係を用いC
p.166 基本事項[I, 2]
AP:BP=2:1
AP:BP=2:1→ AP=2BP→ AP=4BP
として扱う。これを x, yの式で表す と, 軌跡が得られる。
軌跡である図形Fが求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確認
する。
CHART 軌跡 軌跡上の動点(x, y) の関係式を導く
解答
条件を満たす点をP(x, y) とすると
AP:BP=2:1
P(x, y)
ゆえに
AP=2BP
B
AP=4BP2
-4 02
8 x
IAP>0, BP>0であるから
平方しても同値。
すなわち
したがって
(x+4)+y°=4{(x-2)°+y°}
x°+y°-8x=0
(x-4)°+y°=4°
(x, yの式で表す。
整理して
すなわち
の
(x-8x+4°+y=4
よって,条件を満たす点は,円①上にある。
逆に,円の上の任意の点は,条件を満たす。
したがって,求める軌跡は
10の式を導くまでの式変
形は,同値変形。
中心が点(4,0), 半径が4の円
注意 「軌跡の方程式を求めよ」なら,答えは①のままでよいが,| <円(x-4)°+y?=4° を答え
「軌跡を求めよ」 なので, ④のように,答えに図形の形を
としてもよい。
示す。
4
