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2次方程式 x-ax+4a+9=0について、 次の条件を満たすような定数αの値の範囲を
求めよ.
(1) 異なる2つの正の解をもつ、
(2) 異なる2つの実数解のうち、 −2≦x≦1 に少なくとも1つの解をもつ.
<考え方> f(x)=x-ax+4a+9 とおく.
(1) 頂点, 軸, f (0) の値に着目する.
(2) 頂点, 軸, f(-2), f (1) の値に着目する.
y=f(x)=x2-ax +4a +9 とおくと,
f(x)=(x-9)-²+4a+9
より,y=f(x) のグラフは,下に凸の放物線で,
軸が直線x=12頂点が点 (120/+4a+9) となる。
-
(1) f(x)=0 が異なる2つの正の解
をもつのは,y=f(x) のグラフが
右の図のようになるときである.
よって, 求める条件は,
(i)(頂点のy座標) <0
(i) 軸がy軸より右側
(iii) f(0)>0
である.
0
2つの解がともに0より大き
EI
Ay x==
a
a
(i)は,判別式 D>0 として
もよい。
D=(-a)2-4・1・(4a+9)
=α2-16a-36>0
a²
v2
(i)
+4a+9< 0
4
a²-16a-36>0
(a+2) (a-18)>0
より、
a <-2, 18<a
(日) 1/1>0より,a>0
(iii) f(0)=4a+9>0
...... ①
1m
......②
(1)
9
②
より
a>-
..③
①
4
9
0
18 a
-2
4
「よって,(1)〜(Ⅲ)より、
a>18
(2) (1)より異なる2つの実数解をもつのは、
(頂点のy座標) < 0
すなわち, a<-2, 18<a •••••• ① のときである。
(i) f(-2)=0 のとき
f(-2)=(-2)^-α(-2)+4a+9=6a+13= 0
13
a=-
6
(ii) f(1)=0 のとき
f(1)=1-α・1+4α+9=3a+10=0
(1)i)を利用する.
D>0 を用いてもよい。
x=-2 が解のとき
①を満たしている.
x=1 が解のとき
10
a=--
3
①を満たしている.
2
