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重要 例題
71 定義域によって式が異なる関数
次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
(0≦x<2)
f(x)=
(x)=x
8-2x (2≦x≦4)
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定義域によって式が変わる関数では, 変わる 境目のxyの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxf(x) を代入した式で,
0≦f(x) <2のとき 2f(x), 2f(x) 4のとき 8-2f(x)
(1) のグラフにおいて, 0 f(x) <2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
3章
2
⑧関数とグラフ
(2f(x) (0≤f(x)<2)
解答 (2) f(f(x))=
8-2f(x) (2≤f(x)≤4)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x 向
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
1≦x<2のとき
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
3<x≦4 のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
=16-4x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(1)
(2)
YA
YA
4
2
1
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから、f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき ①
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように2を境にして
式が異なるため、 (2) は左
その解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
0
「
「
1
J
1 2 3
4
X
0 1 2 3 4
X
(2)のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
右の図で、黒の太線 細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
成関数といい、 (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
YA
8から2倍を
引く
4
2
0
4 x
2倍する
