(4)の赤波線部分の説明が、なぜこうなるか分からないので教えてください。

例題 157 空間図形の計量 1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺 BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも のを求めよ。 (1) cose (2) 正四面体 ABCDの体積V (3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R (4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r 思考プロセス 次元を下げる 底面高さ 3 (2) V = × ABCD XAH Hはどの位置にあるか? (3) 立体のまま考えるのは難しい。 B M ★★★ 外接球の中心0が含まれる三角形を抜き出して考える。 Action» 空間図形は、対称面の切り口を考えよ B MH (4) 四面体の 09 内接球の 半径の求め方 三角形の 類推 内接円の 半径の求め方 解 (1) △ABC, ABCD は 1辺の長さ2の 正三角形であるから0 CA 2 AM=√√3,DM=√3 AMD において,余弦定理により 60° B (3)+(√3)-2 M D M H √3 AM+DM-AD 2.3.3 3 cost= (2)AB = AC=AD = 2 より, 頂点Aから底面 BCD に 垂線AH を下ろすと, 点Hは△BCD の外心である。 よって, 点Hは線分 MD 上にあり AH = AMsin0=AM√1-cos20 AH 1 MD 2-AM-DM AACH=AADH より BH = CH = DH よって, 点Hは正三角形 BCD の外心であるから、 H は BC の垂直二等分線 上にある。 AABH 280 == 3 3 sin60°). 2√6 よって V = .2.2.sin60° 3 2 3 (3)正四面体に外接する球の中心を0とすると, 1 V = ・△BCD・AH 3 2√2 また = 3 ABCD 1 BC-CD sin BCD 2 OB = OC = OD より 点0から底面 BCD に垂線 OS を 下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。 (2)より,点HはABCDの外心であるから,点は線分 AH 上にある。 AOBS = AOCS=AODS |より BS CS DS 点と点Sは一致する。

(3)で、三平方の定理から答えを求めるまでの計算の途中式を教えてください。

★★★☆ 例題 157 空間図形の計量 BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも のを求めよ。 1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺 B (1) cose (2) 正四面体 ABCDの体積V (3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R (4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r 次元を下げる M C 底面高さ =1/2x (2)V == × △BCD × AH A Hはどの位置にあるか? (3) 立体のまま考えるのは難しい。 外接球の中心Oが含まれる三角形を抜き出して考える。 B Action» 空間図形は、 対称面の切り口を考えよ MH (4) 四面体の 200 内接球の 半径の求め方 JA 三角形の 推 内接円の JA 半径の求め方 思考プロセス DAS nie (1) △ABC, ABCDは1辺の長さ2の 正三角形であるから OA CA √√3 2 AM=√√3,DM=√3 △AMD において, 余弦定理により (3)+(3)-22 2.3.3 60° B' M D M C 1 3 H √32 cose AM²+DM²-AD² ABH (2)AB = AC = AD = 2より,頂点Aから底面 BCDに 垂線 AH を下ろすと,点HはABCDの外心である。 よって, 点Hは線分 MD 上にあり AH = AMsind=AM√1-cos20 3 2 =√√√3 1- 2√6 よって V = AH 1 MD (2·2·2·sin60). 2√6 2√2 = 3 (3)正四面体に外接する球の中心を0とすると 3 OB = OC = OD より 点Oから底面 BCD に垂線 OS を 下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。 (2)より,点HはABCD の外心であるから,点 0 は線分 AH上にある。 280 A 2.AM-DM AABH AACH = AADH BH = CH=DH より よって、点Hは正三角形 BCD の外心であるから, H は BC の垂直二等分線 上にある。 1= また 1. ABCD 3 ・・△BCD・AH ABCD ･BC・CD sin BCD AOBS = AOCS AODS より BSCS=DS 点と点Sは一致する。

点Oは三角ABCの外心で、α、βを求めよとあり、わたしは二等分線AOで三角形を2つにわけて考えようとしましたが、各二等辺三角形で、どことどこが同じ角度なのかがわかりません。教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

(3) A 30° B 800 30° 115° 60° 0 a C C

数Aの問題です なぜOは三角形ABCの重心なのでしょうか

464 C 基本例題 102 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積 右の図のように、1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ 合わせた六面体がある。この六面体を直線 PQ を軸として 回転させるとき、この六面体の面が通過する部分の体積 ▷ を求めよ。 基本101 0000 P 指針▷「面が通過する部分の体積」とあるから,単純にはいかない。 そこで、回転体 断面をつかむに従って考えてみよう。 回転体を △ABC を含む平面で切ったときの断面は,図のようにな る(O は △ABC の重心, M は辺BCの中点)。 したがって,面が 通過する部分は,△ABC の外接円から, △ABC の内接円をくり抜 いたものと考えられる。 このことを立体全体に適用すると 解答 V=(内部が通過する部分の体積) (面が通過しない部分の体積 ) 頂点Pから △ABCに垂線 POを下ろし、 辺BCの中点をM とする。 この六面体の内部が通過する部分の体積 は、半径 OA の円を底面, OPを高さと する円錐の体積の2倍である。 A ・M B 次に,この六面体の面が通過しない部分 の体積は,半径 OMの円を底面, OP を 高さとする円錐の体積の2倍である。 よって V=2x- 2×1/2・OA2OP-2×1/2 ・OMOP ① √3 B M 注意問題の六面体は、すべ ての面が合同な正三角形で入 るが、正多面体ではない ぜなら、頂点に集まる面の 3または4のところがあり 一定ではないからである。 ここで, AM= -AB=√3であり, 0 は △ABCの重心であるから 2 DA-AM-24 OM-1/JAM また OP-PA-ON-25 = 3 3 これらを①に代入して AM=√3 v=x(OA-OM")-OP-(-1). 2√6-4√6- V= 2 = 3 3 3 π 9

なぜ△ABCの中線AMとの交点をG’と置くのですか？

0000 した垂線を が円の直径 基本事項 定理や性 ●Cの垂直二等 基本 例題 78 重心・外心・垂心の関係 00000 正三角形ではない鋭角三角形ABC の重心 G, 外心 0, 垂心Hは一直線上に あって、 重心は外心と心を結ぶ線分を, 外心の方から12に内分することを 証明せよ。なお、基本例題 77 の結果を利用してもよい。 指針 解答 証明することは,次の [1], [2] である。 [1] 3点G, O, Hが一直線上にある。 p.452, 453 基本事項■ HOA これを示すには, 直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OHと中 AMの交点をG′として, G′ と Gが一致することを示す。 [2] 重心G が線分 OH を 1:2に内分する,つまりOG: GH=1:2をいう。 AH// OMに注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 右の図において,直線OHと △ABCの中線 AM との交点をG とする。 AH⊥BC, OM⊥BCより, AH// OM であるから (G) CH垂心, 外心の性質から。 459 3章 1 三角形の辺の比、五心 理 平行と半分 AG' : G′'M=AH: OM B M =2OM: OM 二基本例題77の結果から。 DACは半円 る円周角。 =2:1 の垂心。 よって,外心0, 垂心H, 重心Gは一直線上にあり HG: OG=AG:GM=2:1 AMは中線であるから, G′ は △ABCの重心G と一致 する。 すなわち OG:GH=1:2 検討 外心, 重心,垂心が通る直線 (この例題の直線 OH) を オイラー線という。 ただし, 角形ではオイラー線は定 できない。 下の検討③を 参照。 それぞれ平 #RAJ 三角形の外心、内心、重心, 垂心の間の関係 例えば、次のような関係がある。 ない。 0 利用。 ①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 78)。[] ②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習76) ③ 正三角形の外心, 内心、重心, 垂心は一致する (練習 77 ) 。 したがって、正三角形ではオイラー線は定義できない。 ③

数A図形の性質の問題です。外心、内心をよく理解しておらず、困っています。写真の問題の解き方、答えを教えて欲しいです。よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

下の図において, 点Oは △ABCの外心である。 αを求めよ。 練習 4 (1) B a A 70° 30° (2) (3) A A 25° 40°/50° 45° C B C B 0 C 0

この問題を詳しく説明して欲しいです🙇‍♀️🙇‍♂️

問2 三角形ABCにおいて, AB=5,BC=6, CA=4とする。 内心を I. 外心を0とするとき、 次の問いに答えよ。 (1) 直線AIと辺BCの交点をDとするとき. AI: ID を求めよ。 記述-J 3:2 (2)外心Oから週ABに下した垂線とABとの交点をEとするとき, と等しい角度はどれか。 正しいものを. ①~⑤のうちから1つ選べ。 14 AOE ① ∠ABC 2 ZBCA ③ ∠CAB ④ ZAIO ⑤ ∠BIO (3) AからBCに下した垂線とBCの交点をFとするとき. AOの長さ×AFの長さを求めよ。 正しいものを ①~⑤のうちから1つ選べ。 15 ① 52 15 21 ② 10 25 3 ④ 12 5 2 2

解説お願いします

29 [2023 立教大] 座標平面上の3点O (0, 0), A (4,2),B(-6, 6) を頂点とする三角形 OAB の外心の座 標は である。

問題文から底面積が正三角形で∠60°になるのは分かるんですけど、AHをそこからどうやったら求められるかが分かりません。良かったら解説お願いします😖🙏🏻

482 AB=AC=AD=√21, BC=CD=DB=6である三角錐 ABCD において,頂点Aから ABCD に垂線AH を下ろす。 このとき、次のものを求めよ。 (1) AH の長さ (3)この三角錐の表面積 (2)この三角錐の体積 (4)この三角錐に内接する球の体積

メネラウスの定理の問題で、私は、MH/HAのところをMO/OAとしたら、間違えてしまったのですが、どこが間違えなのか分かりません わざわざ、HMなどを求めて計算する必要があるのでしょうか… 分かりにくくてごめんなさい

(3) 辺BCの中点をM とすると, (1)より, OMAH=1:2となり また OM=1/2AH=1/26=3 BM=1/2BC=1/28=4 △OBM において, 三平方の定理により AO=BO=√32+42=5 3点A, 0, Hはこの順に同一直線上にあ るから D OH = AH-A0=6-5=1 また (1) から OG: GH=1:2 が成り立 つから OG=1OH=13 B ☐ M E G. H さらに, HM=OM OH=3-1= 2 であるから, △AMCと直線BE に ついて、メネラウスの定理により AE CB MH =1 2 EC BM HA AE - 82 EC 4 AE EC = 3-2 . 6 = 1 MO3 - OA 5 よって AE: EC =3:2 Point まちがい? 三角形の外心を0, 重心をG, 垂心をHとする。 三角形が正三角形でないとき 3点0,G,Hはこの順に同一直線上に あり, OG : GH=1:2が成り立ち、この直線はオイラー線とよばれる。 なお,三角形が正三角形のとき、3点0G, Hが1点に重なる。