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6
10 確率の最大値-
赤,青,黄3組のカードがある。 各組は10枚ずつで, それぞれ1から10までの番号がひとつず
つ書かれている.この30枚のカードの中からk枚 (4≦k≦10) を取り出すとき 2枚だけが同じ番
号で残りの (k-2) 枚はすべて異なる番号が書かれている確率を(k) とする。
(1)
p(k+1)
p(k)
(4≦k≦9) を求めよ.
(2) pk) (4≦k≦10) が最大となるkを求めよ.
4958
(福岡教大/一部省略)
確率の最大値は隣どうしを比較
確率p (k) の中で最大の値 (または最大値を与えるk)を求める
問題では,隣どうし [p(k) と(k+1)] を比較して増加する [p(k)≦p(k+1)] ようなkの範囲を求
める. p(k) と p(k+1)の大小を比較すればよいのであるが, p(k)と(k+1)は似た形をしているの
(k+1)
p(k+1)
p(k)
p(k)
を計算すると約分されて式が簡単になることが多い.
である.
解答
さがう
(BOA)5
(1) 30枚からk枚 (4≦k≦10) を取り出す取り出し方は 30C 通りあり、これ
らは同様に確からしい。このうちで題意を満たすものは、 同じ番号の2枚につい
て番号の選び方が10通りで番号を決めると色の選び方が3C2通り異なる番号
(2)枚について番号の選び方がC-2 通りでそれを1つ決めると色の選び
1-0
方が3-2通りある.
よって, p(k)=-
p(k+1) 9C-134-1
-≥1p(k)p(k+1)
R BE
左(410)
目
ex
10 C₁ x 9
パターン
101010
10-3-9Ck-2-3-2
30Ck
30Ck
..
p(k)
=
30Ck+1
9Ck-2-3-2
10-3を約分
およん
(k+1) (29-k)!
30!
9!
(k-2)! (11-k)!,
1
1
--3 順に,
30!
k! (30-k)! (k-1)! (10-k)!
9!
3(k+1) (11-)
30 Ca+1"
9C-2
最後の3は3-13-2 を約分.
30 CA. 9C-1
(k-1) (30-k)
(2) p(k) sp(k+1)=-
p(k+1)
p(k)
3(k+1)(11-k)
≥1↔
≥1
(k-1) (30-k)
>p (k)>0. p(k+1)>0
①
3(k+1) (11-k)≥(k-1) (30-k) k (2k+1)≤63
5·(2・5+1)<63<6·(2･6+1) であるから, ①を満たすkはk=4,5で①の等 kは4~9の整数
号は成立しない よって
p(4)<p(5)<p(6), p(6)>p(7)>p(8)>p(9)>p(10)
となり,p (k) が最大となるkは 6.
20円迄
