例題 42
隣接3項間の漸化式
次の条件によって定まる数列{a}の一般項を求めよ。
a=1, a2=1, an+2=an+1+6an (n=1, 2, 3, ......)
考え方
{an+1-αan}が公比βの等比数列となるα βを求める
an+2-αan+1=β(an+1-αam) を変形すると
an+2=(a+β)an+1-aBan
ポイント
→ a+β=1, αβ = -6 を満たす2つの数α, βを見つければ, 漸化式は
第15章 数列
★★★★
[類 和歌山県立医大 ]
(1)
目回
+2+1=β(a,+1-aa) と変形でき, {a,+1-2a} は公比βの等比数列となる。
α,βは2次方程式 xx6=0 の2つの解であり,それは-2と3である。
(参考)一般に,漸化式 ataq=0について、2次方程式px+g=0 の2つの解がα, Bで
あるとき, 漸化式は an+2-Qan+1=β(a,+i-aa) と変形できる。
① 漸化式を変形
→
{an+1 +2a}が等比数列
→
解答
an+2=an+1+6a を変形すると
an+2+2an+1=3 (an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
① から, 数列{an+1+2am}は初項a2+2a,=1+2・1=3, 公比3の等比数列で
an+1 +2an=3・3"-1=3"
......
② から, 数列 {an+1-3a}は初項 α2-3a=1-3・1=-2,公比-2の等比数列
で
an+1-3an=(-2)・(-2)"''=(-2)"
{an+1-3a} が等比数列
2式から +1 を消去
③ ④ から
5an=3"-(-2)"
3"-(-2)"
したがって an=
答
④
b
