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例題 B1.63 n=k-1, k を仮定する数学的帰納法
x=t+/1/2 とし, P.=f+1/12
t"
のn次の多項式で表されることを示せ
考え方
解答
とおく (n=1,2, .･････). このとき,Pnはx
自然数nに関する証明については,数学的帰納法を用いる. まずはオーソドックスに
考えてみよう.
(証明) (I) n=1のとき,P,=t+==xより成り立つ.
(Ⅲ)n=kのとき,P.=t+1=(2
n=k+1 のとき, Ph+1 = th+1+
* + ² + = ( ₁² + + ) ( ₁ + — ) - (^ ^ ₁ + 7 ² ₁ )
=(xのk次の多項式) と仮定すると,
****
=xP-P-1
ここで,Pk= (xのk次の多項式)と仮定しているから,xPhはxの(k+1) 次の多項式で
ある.しかし,P-1については、何次式なのか, xの多項式なのかもわからない つまり、
Pだけではなく, P-1 の次数についても仮定が必要になる.また, (II)で,n=k-1,k
とすると,n=1,2,….…...であるから.k-1≧1 より k≧2 でなければならない.
1
(I)n=1のとき,P=t+==xより成り立つ
2
n=2のとき,P=f+1/2=(t+12=x-2 より題意は成り立つ。
(II)n=k-1,k(k≧2) について,題意が成り立つと仮定する.
JP-1 はxの(k-1) 次の多項式
Pkはxの次の多項式
すなわち,
1
P₁+₁=²^¹ + ₁² = (1² + 7 ) ( ² + 7 ) ( ^¹ + ²)
Pk+1=th+1+ = -
tk+1
rick
16=xPk-PR-1
ここで,xPk は x×(xのk次の多項式)より
x (k+1) 次の多項式となり, P-1 はxの(k-1)
次の多項式であるから, Pk+1 は x の (k +1) 次の
多項式となる
で表されると仮定すると、
-2 と条件
よって,n=k+1のときも題意は成り立つ Pr
(I)(II)より,すべての自然数nについて題意は成り
立つ.
P-1 は x (k-1) 次の多項
式より,
=(x (k+1) 次の多項式)
(x-1)次の多項式)
!!!
注〉 (I) で P1がxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法で, P2がxの
2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る. (Po は定義さ
れていない。)よって,(I)でP2 も調べておく必要がある。
の3項は
なお、下の練習B1.63 は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p. B1-84 参照)
