数三積分の問題です。 具体的に増減表がイメージできないので教えて頂きたいです。それと、tという数は不変の数なのでしょうか？？tもxも変動すると考えると何が何だか分からなくて頭がごちゃごちゃになってしまいます... 教えて頂けると嬉しいです。

〔東京学芸大] HINT ||内の式 = 0 となる値が積分区間 0≦t≦1に含まれるかど log(t+1)-10gx=0 とすると t+1=x すなわち t=x-1 積分区間は 0≦t≦1であるから, x-1≧0, 0<x-1<1, na うかがポイント。 したがっ 東習 x>0のとき、関数f(x)= Solog +1 | dt の最小値を求めよ。 xC 227 f(x)= Solog(t+1)-10gx|dt 1≦x-1 の場合に分けて考える。 (1809 +176) s [1] x-10 すなわち0<x≦1のとき log (t+1) -logx≧0 f(x)=S{log(t+1)-10gx}dt+x.ai 1 =Slog(t+1)dt-(log.x)Sdt 1721 STE 07 よって 0≦t≦1であるから 1≦t+1≦2 ゆえに t+1≧x S²x20 <Sat=[]=1 dt

数三積分の問題なのですが、この等式が成り立つ理由が分からないので噛み砕いて教えて頂けると嬉しいです。 よろしくお願いします。🙇🏻‍♀️

-a<bのとき a |Sof(x) dx| Solf(x) dx a

数三積分東大の問題です。 青線引いてある部分が分からないのですが1はどこから出てきたのですか...？？教えて頂きたいです。

330数学ⅡI EX [④] 205 Q(0, 0, gh) とする。 PkQk=1から を原点とするxyz空間に点P (1-4.0),k=0.1..... nをとる｡また、軸上の の部分に点Qを線分PQの長さが1になるようにとる。 三角錐 OP Pk+1Qkの体積を Vxとするとき, 極限 lim V を求めよ。 7100 k=0 HINT Q2(0.0.x)として で表し、V=1/23 AOP,Ps+1" を n. n 0, Q R Z k≧0であるから /k+1 n また, Pk+1 ( gk=/1 n-1 n 2 2 k √ ( ²2² ) ²+ ( 1 _ ^ ² ) ² + a^² = - n n→∞k=0 k+1 n n 2 2 1 - ( 1 ) ² - ( ₁1 - 12 ) ² -- n n 0) であるから 1- 7 k AOP.P...=-1-(+1)+ 1 k = ) * - 6n n 2 1 1 - ( 12 ) ² - ( 0 n n 2n 2 1 1 k 1921= V₁ = 100P P+19= = 2 2 √ ₁ - ( 2 ) ²- (1₁-12) ゆえに △OPP+1gk 1 ● 32nV n n よって Vk=lim- ><lim Ev.-lim ¹2√/1-(A)-(1-²)* n 6n k=0 ¹-S²√/1—x²—(1—x)²³ dx k n = 15²√/2x-2x³² dx 2 2 = √2²2 S √/ (+/-)² = ( x - ²1² ) ² ₁ 6 dx 2 +k+1 IVS 2 円を表すから,その面積を考えて 4 S√/ (+)-(x - 2) dx = √², 1/1 P ²dx= 6 1² 6 √2 n 2-74)- 2 ::.- √(1)-(x-1) +++ (1.0). *# 1/1 or ここで, 2は中心 y=₁ 半径 の半 kを用いて表す。 n ZA qh Qk k O n P+1 Ph 〔東京大〕 Jel k n tl xb 2xy平面上で,点Pk. A O (8) X3 Pk+1 は直線 x+y=1 上 にあるから, A(0, 1, 0) とすると AOP RPk+1 =△OP+1A-△OPkA ya +- 2 So √ ( 2 ) ² - (x - 2)² dx 1 x

数三積分の問題なのですが、2m/m²－n²はどこから出てきたのでしょうか？？教えて頂きたいです。

定積分の計算(2) 210 重要 例題 Sosin "sin mxcos nxdxの値を求めよ。 ただし,m,nは自然数とする。 定積分 00000 文字を含む三角関数の定積分 指針▷ 不定積分を求めるには,次数を下げる方針で進める。 この問題では,積 (p.8 参照) を利用すると 和の公式 sin mx cos nx= 1/12 {sin(m+n)x+sin(m-n)x} ここでの部分に文字が含まれていることに注意! mnは自然数より, m+n=0となるから, m-n につ いて m-n=0, mn=0 の場合に分けて計算する必要がある。 CHART 三角関数の積分次数を下げて、 1次の形に 解答 場合分け忘れずに π I = So sin mxcos nxdx とする。 == sin mx cos nx= -{sin(m+n)x+sin(m-n)x} 2 [1] m-n=0 すなわちmキュのとき I=- 1 [ cos(m+n)x cos(m_n)x m+n m 1 { cos(m+n)x cos(m_n)x m+n m-n m+nが偶数のとき, m-nも偶数で 2m 1/² ( m² + n² 1 m-n I=- 2 m²-n², m+nが奇数のとき, m-nも奇数で 1 1 1/² ( - m²+n I=- m-n [2] m-n=0 すなわちm=nのとき 1=1/25/18² I= + + p.8 まとめ, 基本 207,209 sin 2nx dx= [- An 2m π cos 2nx =0 ポイントは 分解!! 0 2 /2m 2 であるから M² -40.422 単純に —Ssin(m_n)xdx=_ cos(m_n)x m-n ← 2m m²-n² p.323 基本例題 207 参照。 だから としてはダメ! ******** 積→和の公式 cos kn= ←=1_1 このとき, m+n は偶数である。 以上により m+nが偶数のとき I=0, m+nが奇数のとき I= -+C 52 1 ( kが偶数 ) -1 (kが奇数) m+nが偶数 ⇔m, nはともに偶数 またはともに奇数 ⇔m-n が偶数 m+nが奇数 ⇔mとnの一方が偶数 でもう一方が奇数 ⇔m-n が奇数 2m m²-n²

数三積分の問題なのですが、オレンジペンで囲んである部分がわからないです。逆関数の積分をどう扱えばいいのか分からないので教えて頂きたいです。

逆関数と積分の等式の証明 重要 例題 222 O tinde ① f(x)= のとき. y=f(x) の逆関数y=g(x) を求めよ。 2 (1) f(x), g(x) に対し、次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+$70g(x)dx=bf(b)-af(a) 解答 指針▷ (1) 関数y=f(x) の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.134 基本例題 81 参照。) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)x=g(y) を利用。 すなわちy=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により 左辺の第2 7 ((1) ex ex+1 項 Song(x)dx を変形することを考える。 f(a) ex ex+1 y= ①から ②から *****. p.339 基本事項1. 基本 81 e-∞ ex lin erão tra l the extl X-8 ①の値域は 0<y<1 ゆえに よって (ex+1)y=e* y e² = 1 = y I= ********* V (2) (1-y)ex=y x=logi-y 求める逆関数は、xとyを入れ替えて g(x)=log 81²x (2) Sing(x)dx とする。 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y)dybe 2 また g(f(a))=a.g(f(b))=b2xf(a)→f(b) xとyの対応は右のようになる。 よって 店 tree 1=S_yf'(v)dy=[yf(y)]* -S" f(y)dy =bf(b)-af(a)-f(x) dx ゆえに Sof(x)dx+g(x)dx=bf (b) -af(a) a → b #104 T STS LORAC まず、値域を調べておく。 xについて解く。 「両辺の自然対数をとる。 loge*=x 定義域は 0<x<1 f(b) YA 1 f(a) T= 0 〔東北大〕 12 a T S x s=Sof(x)dx. T-Shing(x)dx ƒ(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 (0<a<bのとき) 345 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

数三積分の問題なのですが、なぜ3行目で常に〰︎︎または〰︎︎では無いと分かるのか理由を教えて頂きたいです。

数列の和の不等式の証明 重要 例題 232 nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。 1 1 log(n+1)<1+- + +...... + <logn+1 3 指針 数列の和 1+ 1 1 + 2 3 解答 自然数 から 1 常に+1 1 k+1 k=1Jk k≦x≦k+1のとき に対して, 1 すなわち, 曲線 y= の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を XC 証明する。 1 x •k+1 dx k よって Sa+¹ dx < 1/1/2 k k n nk+1 dx x k=1 M であるから k+1 k n-1k+1 dx 1 k+1] 1 1 k k+1 または (+) doo S xC (+1dx •k+idx +......+ x =log(n+1) 1 1 k = •k+¹ dx k x k+1dx dx < 1/2 k 21 =1k 4²0= logx 定積分の利用(面積比較) ck+¹ dx k ではない jk log(n+1)<1+ 1 は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借りる。 n 1n+1 ©から dx f" d= [108x] "=1 1+1/²/2 + 1/²/3 基本229231 演習 236237 k=13k → この不等式の両辺に1を加えて よって, ①② から n≧2のとき n y₁ 1 +.... 1 1 (2) 2√n+1-2<1+ √2+√3 y= 0 123.n\x n-1n+1 k=1Jk k=1k+1 =logn であるから 0 123･･･ n n-1 1 <D Ⅱ 式イ 1 n nick+1 dx 式 1 1 2 1 1 1+ + + 2 3 log(n+1)<1+ + +......+ 1 3 + +・ 練習 次の不等式を証明せよ。 ただし、nは自然数とする。 (3 232 1 1 (1) + + + + + + + < 2-1 (n=2) <2- n² n ++/² n 1 n 1 + 2 3 1 k + YA *@S² + S² • -≤2√n-1 1 k+1 0 k n+1 =S+ k+1' で k=1,2 n と して辺々を加える。 n <logn+1 a+1dx X +・・・・・・+ k+1 として辺々を加える。 1 <logn 1 n +...+ で k=1,2, ....... n-1 Ca+1 x .... (2) <logn+1 〔(2) お茶の水大] p.362 EX207 361 7章 36 定積分と和の極限、 不等式

数三の微分のグラフについてです。 増減表までは書けるのですが、漸近線のもとめかたがわかりません。とくに、x軸に垂直でない漸近線のところが、どのような操作をしているか理解できません。 教えてくださる方がいたらよろしくお願いします。

⑥ 座標軸との 4 漸近線 関数 y=f(x)のグラフ (曲線)について 1. y軸に垂直な漸近線 limy = a または limy=a x-00-00 漸近線である。 2. x軸に垂直な漸近線 mal di Je L f(x) が成り立つ 線である。 lim {f(x)-(ax+b)}=0 についても同様。 X→∞ y=ax+b である。 GEE x→6-0 ずれかが成り立つとき, 直線x=b は漸近線である。 3. x軸に垂直でない漸近線 lim {f(x) (ax+b)}=0 ならば,直線y=ax+b は漸近 直線y=a は 一 1 lim y=∞, limy = -8, lim_y=8, lim_y=∞のい x→6+0 x→b+0 x→6-0 注意 lim =a, lim {f(x)-αx}=6 ならば, x軸に垂直でない漸近線の方程式は X→∞ x x18 339 次 (1) 340 次 (1) *(4)

数三最大最小です ⑵ですがf’(x)の+ や-はどうやって判断していますか？

章 微分法の応用 Ched ・ 例煙 184 最大 最小 (1) 次の関数の最大値、最小値を求めよ. (1) f(x)=x+2/12 (12/22 (12/2≦x≦3) 解答 考え方 定義域が与えられているので, f(x) の増減表を作り, 端点の値と極値を比べる。 (1) f'(x)=1-12==1=(x+1)(x-1) Focus A f'(x) f(x) f'(x)=0 とすると, x=±1 したがって, f(x) の増減表は次のようになる。 10 3 1 3 5 2 1 0 V 2 x 20 よって, ... - ... π 4 0 1 √√2 最大値 1 ... f'(x) f(x) 1 y - + 3 e-(0)1-(0)2-(0)7 最大値 (x = 3), 最小値2(x=1) sinx=cosx より, π x== 4 YA したがって, f(x) の増減表は次のようになる.! ... (2) f(x)=sin³x+cos³x (0≤x≤x) +1 7 10 よって, 3 (2) f'(x)=3sin'x ・cosx+3cos'x· (−sinx) =3sinxcosx(sinx-cosx) f'(x)=0 とすると, sinx = 0 より, x=0, π, cosx=0 より、x=2 π 2 0 1 Miche |x=0, - π -1 ( /2 最大・最小は,極値と端点の値を調べよ O -1 5 74 (S- π 2人 最小値-1 (x=x) O - ** 最大の ------12 最小 11 2 最大 4 3 I 最小 注》〉漸近線や,これから学ぶグラフの凹凸を調べれば、より正確にグラフをかけるが、最大 値・最小値を求めるときは,これまでの上

数三置換積分です。 別解で積分定数C’が出でくるのですが、どうしてですか？

Check 題 229 贈答 次の不定積分を求めよ. fx(2x-1) dx 置換積分法 (1) 展開するのではなく, 2x-1=tとおいて考える。 (2)√x=t とおく.(√x-1=tとおいてもよい。)(メー Cは積分定数とする. ub(g)))=xb(x)'`b((2) (1) 2x-1=t とおくと, Focus x= (2)√x=t とおくと, dx = 1/2*, dx==1/dt より, dt ・dt よって, t+1 2 Sx(2x-1)³dx=+1.1.1/dt -²+²-1+1+1+c = 1 S ( 1° +15) dt = 1 + 1/ 4 7 =168 °(6t+7)+C=18(2 -(2x−1)³(12x+1)+C x=12 dx=2t より, dx=2tdt dt よって, S₁²₁²_₁dx=S+² ₁.2 tdt √x-1 4 dx=2t+2より dt √√√²-10²₂ dx 1x (別解)√x-1=t とおくと, x=t2+2t+1 *** -tº C =2√x+10g(√x-1)2+C. =(2t-1)+2d=(2+121) dt =2t+2log|t-1|+C=2√x +10g(√x-1)2+C .873 31 basicns mit Geon= dx=(2t+2)dt S√²-7 dx = S(2t+2)dt =S (2+2) dt x-1 =2t+2log|t|+C'=2(√x-1)+210g|√x-1|+C ** x=g(t) とおくと, f(x)dx=~f(g(t)g'(t)dt 両辺をtで微分する. dt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 1/12dt を代入す る. 最後はxの式に戻す. 2tdt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 2tdt を代入す る. S/1/dx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. dx に (2t+2) dt を 代入する。 C-2=C としている。 最後はxの式に戻す。 49

数三微分漸近線です。 下の注ですが、x→➖♾️に飛ばす時、2xのところは考えなくていいのですか？ ルートだけ考えるのですか？

406 第6章 微分法の応用 Chec 例題 192 漸近線(②2) Ph(x)=2x+y f(x)=2x+√x-1 とする. 関数 y=f(x) のグラフの漸近線を求めよ. 考え方 (i)y軸に平行でない漸近線と, (i)y軸に平行な漸近線に分けて考える. 解答 (i)は,漸近線を直線y=ax+b とおいて考えればよいが,ここでは,x→+∞と x-∞に分けて考える. (例題191では,x → +∞ と x→−∞ の結果が同じにな るので,まとめてx→±∞ とした. (i)は,xα±0 のとき, f(x)→ ±∞ となるようなαの値が存在しない場合である。 (i) 漸近線を直線y=ax+b とすると, x→+∞のとき, f(x) a=lim X→∞ xC x→∞ =lim X→∞ 2x+√x2-1 xC b=lim{f(x)-ax}=lim(2x+√x2-1-3x) x18 a = lim X→∞ =lim(√x²-1-x)=lim -1 -=0 x →∞0 したがって, a = 3,6=0 より, 漸近線は,直線y=3x x→∞ のとき, t=-x とおくと, t→+∞ f(x) 2(−t)+√(−t)²−1 -=lim t→∞ - t =lim (2+. (2+√1-1) ₁ X→∞ ∞ x2-1+x_ b=lim {f(x)-ax}= lim (2x+√x2-1-x) X→∞ x→18 在しない. よって, (i), (ii) より,漸近線は, =lim (x+√x2-1)=lim{-t+√(-t)^-1} x→−8 t→∞ -1 m² √²−1+t =lim 2- t48 =lim(√f2-1-t)=lim t→∞ したがって、漸近線は,直線y=x lim f(x), lim f(x) が±∞になるようなaの値は存 x→a+0 x-a-0 and =(x) mil -=0 注》例題 192 の関数のグラフは右の図のようになり, 漸近線は次のように考えることができる. x→+∞では、x=xなので 直線 y=3x, y=x 1- y=2x+√x2-1=2x+x=3x より 直線y=3x では、1≒x なので, y=2x+√x-1=2x-x=x より, 直線y=x 実際にグラフをかく場合などは,このような簡易的な 方法で求めると便利である. =3 *** y軸に平行で ない漸近線を 求める. 42-75- |01 -2 x→+8, x-8に 分けて考える。 ∞-∞の不定 形より,分子 を有理化する. ∞ より も,x→+8 の方が考えや すいので, t=-x とおく. ∞-∞の不定 形より, 分子 を有理化する. y軸に平行な 漸近線はない。 y=3x YA TV