基本例題 46 有理数と無理数の関係
(1) a b は有理数とする。 a+b√2=0 のとき, √2が無理数であるこ
用いて, a=b=0 であることを証明せよ。
6E
(2) (1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数x,yの値を求めよ。
CHART & T HINKING
(1)直接証明するのは難しいから,背理法を利用しよう。 結論の否定は 「α+0 ま
b0」であるが,この仮定からスタートする必要はない。 4+6√2=0 という式に注
最初の仮定を見極めよう。
(2)√2について整理して, (1) の結果を利用する。このとき, 前提条件
「xは有理数,√2は無理数」を書くことを忘れないよう注意。
解答
(1) 6=0 と仮定すると
a
√2= -1/10
b
a,bは有理数であるから,右辺の1 は有理数である。
左辺の√2は無理数であるから, これは矛盾している。
6=0を代入してa=0
よって 6=0 a+b√2=0
したがって a=b=0
OINT
x-2y-10=0,x+3y = 0
x=6, y=-2
+a+b√2=0b³5
b√2=-a
両辺を 6 (≠0) 割
(2) 与式を変形して
(x-2y-10)+(x+3y)√2=0
√2について整理。
x,yは有理数であるから,x-2y-10,x+3y は有理数でこの断りは重要。
あり √2は無理数である。
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ゆえに, (1) の結果から
これを解いて
有理数と無理数
a,b,c,dを有理数, I を無理数とすると
(a+b√T=0
a
√2= -1/10
このことから, 最初
定は 60 だけで
のとき a=b=0
② a+b1=c+d√T のとき a=c, b=d
例えば ① では α = b = 0 以外に α=√I (無理数), b=-1 も a+b√T=
ここで, 「a,b,c, dは有理数」 という条件に注意しよう。 この条件がないと
を満たしてしまう。
