なぜ蛍光ラインの式に持っていくのですか？

考え方 [Check 例題 解 a1=2, an+1=2an+1 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 285 漸化式 an+1=pan+q (p≠1) bn+1=pbn こわいとでき、数列{bn}は公比』の等比数列となる. の等比数列となる。同 与えられた漸化式を, an+1-a=p(an-a)...... (*) 漸化式 の形に変形できれば, an-a=bn とおいて, 解より p+,nd=in R こ このαを求めるには、次の方程式 (**) を解けばよい. = pan+a(1-p) もとの漸化式 an+1= pan+ α と等しくなるには,g=α(1-b) であればよい. つまり、変形すると、 a=pa+q...(**) となり, この式は,もとの漸化式の an+1 と an を αでおいた方程式と同じになる。この方程式を特性方程式という. an+1=3・2n-1 よって, (別解) an+1=2an+1① より, ②-① より, ocus 2010 JAN an+1=2a+1より, an+1+1=2(an+1)=左野さ=2a+1 より, α=-1 数列{an+1} は,初項 α1+1=2+1=3, 公比 2 の等比数列 REPUE だから,一般項は, 慣れるまでは, an+1=6n とおいて, 数列{bn} を考える an=321とよいかを考 an+2=2an+₁+1......2 3 ptxd an+2an+1=2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと, bn+1=26m となり, 数列{bn} は,初項 bı=a2-α=2a+1-a=a+1=3,公比2の 等比数列より bn=3.2n-1 #lpt n-1 32-1-1) n≧2のとき, an=ax+20=2+ 2-1 k=1 n=1のときも成り立つから, 3 漸化式と数学的帰納法 ** ON an+1=pan+q (p⇒1) this. an=3.2-1-1 注 特性方程式 α = pa+q (p≠1) 漸化式 (慶應義塾大) an+1= pan+α の特性方程式 a=pa+q -=3.22-1-15-3)x=x 140 n=1のときを確認 α=3.2°-1=3-1=2 d anti-α = p(an-α)と変形して等比数列に帰着 IACH 特性方程式を用いず 階差数列を利用する. {bn}は{an}の階差 数列 3 p+xd=x JctJ an+1=pan+g・･･･① について, an+1 と an を α とおくと, a=pa+q ......2 ◆ 特性方程式」 ①-②より, an+1-α = p(an-α) ...... ③ ①p+md と変形でき,②を解くと③に入れるαの値を求めることができる. (③を展開すれば①の式になる.このことも確認しておくとよい.)

なんでn≦kが出てくるのかがわからないです。 誰か親切な方教えてください🙇‍♀️

nを仮定する数学的帰納法 3 漸化式と数学的帰納法 例題 322 (an) を満たし α = 2 である. このとき, 一般項an を推測し, これを証明せよ. 3a²+az²++an²)=nawa.o! ① で n=1 とすると α = 2 より az=6 ① n=2とすると =2,42=6より ① で n=3とすると、 考え方 まずは具体的に書き出して一般項an を推測し, それが正しいことを数学的帰納法で証 明する.n=kのとき, 3(a²+az²+......+an²) = kakak+1 となり, 推測した an (n≦k) を a, a2,......., ak に代入して ak+1 のときも成り立つことを示せばよい. そ のため, a1,a2, ......, ak のすべてを仮定する必要がある とおく。 3a²=1.ara2 3(a²+az^²)=2azd3 3=10 (+01=05501-8 Q(x)とする。 3(a₁²+a2²+a3²)=3a3a4D (INZ a=2, a2=6,a3=10より, a=14 したがって,数列{an}は,初項2, 公差 4の等差数列,つまで、 り, 一般項an は, an=2+(n-1)・4=4n-2...... ② ***D *** と推測できる. ②を数学的帰納法で証明する. ()+"el- (I)n=1のとき, α=4・1-2=2 より ②は成り立つ。 In≦を満たすすべての自然数nについて ② が成り立 (つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2,......, k) 16-17/(0-)-4 ①でn=kとすると, =(a²+a²+......+a^²)=kanak+1 ③ k k (③の左辺)=3Σ(4e-2)=3】(16ℓ²-16ℓ+4) l=1 3/16/01k(k+1)(2x+1)-16/12 (+1)+4k (-) =k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12} (-) = 4k (4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1) ・④ (③の右辺)=k(4k-2)an+1=2k(2k-1) ak+1 ④ ⑤ より, 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)an+1 したがって, ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2 となり,n=k+1 のときも②は成り立つ (1 (I), (II)より, すべての自然数nについて, an=4n-20- が成り立つ. LOTL 561 第8章 a1,a2,…,ak につ いての仮定が必要に なる. (S-1)="er (MIR) 1.05=8-0²5 om 5 RAH STIS *** REL. RAY 2k (2k-1) (+0) 両辺を割る. 練習 数列{an} (a>0) はすべての自然数nに対して, 656 322 (a1+a2+..+an)=a+a2+...... +α を満たす。このとき,一般項an を *** 推測し,これを証明せよ。 Date +1 自然 で定義 QA 2+1 15 を数学的 2 1-1/3 I 1 つ. ①が成 1 -ak 2k (k+ (k n

この問題の(2)と(3)を教えて下さい🙇 お願いします🤲

5 第3節 漸化式と数学的帰納法 問題 15 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a1=2, an+1=an+2n-1 (n=1, 2,3,……) (2) a1=1, an+1+an=3 (n=1, 2, 3, .....) (3) a1=2,2an+1=an+1 (n=1, 2, 3, ......)

数Bの3項間の漸化式の問題です。なぜ②の形に変形できるのでしょうか？また、②を整理して③になる途中式を教えて頂きたいです。

次のように定められた数列{an}の一般項について考えてみよう。 3項間の漸化式 an+2 = pan+itqam 発展) = 2, a2 = 3, an+2 = 5am+1-6a, …0 (n=D 1, 2, 3, …) このとき,定数 a,Bを用いて① を dn+2-@ln+1 -Blan+1- aa,) の形に変形できると,数列 {an+1- aam} の一般項を求めることができる。 2を整理すると (α+ B)an+1-aBam An+2 ミ 0と3を比較して α+B=5, aB =6 であればよい。 10 このとき,a, Bは2次方程式 x-5x+6=0 の解である。 この2次方程式の解 x= 2, 3 を用いて, ① は a= 2, B=3 のとき a= 3, B=2 のとき と変形できる。 an+2-2an+1 =3(an+1-2am) an+2-3am+1 =2(an+1-3am) 15 より,数列 {am+1-2am}は公比3の等比数列であるから -2am = 3"-1 (a2-2a) = 3"-1 (3-2·2) = -3"-1 2n+1- すなわち an+1-2a, = -3"-1 6より、列{am+1 -3a,}は公比2の等比数列であるから 『n+1-3a, = 2"-1 (a2-3al) = 2"-1(3-3·2) = -3·2"-1 すなわち an+1-3a, = -3.2"-1 6-のより an =3.2"-1-3"-1 問1 次のように定められた数列 {an} の一一般項を求めよ。 " a; = 1, a。= 3, an+2 = 3an+1-2an (n= 1, 2, 3,.…) (n= 1, 2, 3, ) (2) a= 2, az = 1, am+2 = an+1+6am 45 1章|3節|漸化式と数学的帰納法

高校数学の問題です。写真の（2）で斬化式を2^n＋1で割ることは教えて貰ったのですがなぜ割るのよくわかりません。 どなたかわかる方、なぜ割るのかを含めて解法を教えていただけると助かります。

漸化式と数学的帰納法(宿題)学籍番号 ( )氏名 基礎問題 1. (1) a1 = 5,am+1 = 3an-2 (n == 1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を (2) a1 = 4,an+1 =3an + 2" (n=1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を求めよ.

(2)の問題は特性方程式の解が1と2であることを利用して、写真のように解くのは大丈夫ですか？ちょっと雑ですみません。

530 第8章 数 (1) an+2-2am+1-15a,=0 ……① が an+2-ean+1=B(an+1- aan)……2と変形で *ル-1 bn=dn+1-an とおくと,数列{bn}は数列 {an} の (1より =0 列 Unt 3 漸化式と数学的帰納法 Check 531 例 題 300 隣接3項間の漸化式 (1) 2-3an+1+2an 0より、 an+2-an+i=2(an+1-an) ..の 次のように定義される数列 {an}の一般項 an を求めよ。 (1) a=1, az=2, an+2-2an+1-15am=0 (2) a=3, az=5, an+2-3am+1+2an=0 (x-1)(x-2)3D0 より、x=1, 2 階差数列であり,②より, a=1, B=2 で考える。第8章 bn+1=2 b。 つまり,数列(bn} は、 初項 b=a2-a=5-3=2 公比 2 考え方(A) 特性方程式の解 a, BがαキB となる場合(p.529)である の等比数列であるから, bn=2-27-1 きたとする。 2より, antaー(a+B)an+1taBa,=0 bn=2" とできるが, [a=-3 {8-5 これより, a+8=2, aB=-15 だから, | anta+3an+i=5(an+1+3am) lamtz-5am+1=ー3(an+1-5am) または Q=5 したがって, n2のとき, -1 B=-3 こb。を計算するので an=a」+E。 =1 k=1 bn=2-2"-1 のままの方 が間違いが少なくなる。 {an} の階差数列{ba n22 のとき よって,2より, 1-1 =3+ 22-2*-1 これより,一般項 anを求めればよい。 (2)(A) aキ8 において, とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, k=1 2(2"-1-1) ag+2-3am+1+2an=0 は, an+2-Cn+1=8(an+1-an) 数列(a+-)は(a)の階差数列である。 =3+ {a)の階差数列 2-1 =3+2(2"-1-1) =2"+1 -1 an=a+ 2b。 {an+1-a) となり、 (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう。 =1 n=1 のとき, a=2'+1=3 となり成り立つ。 m n=1 のときを確認 よって, an=2"+1 ュ-15am=0 Tan+3a のより x-2x-15=0 w 解答 (aneit3an) (x+3。 E Rocus

(4)の問題を下の例題14のように解きたいのですが、どうしても初項が−2になってしまって困っています。正解は2です。なぜこうなってしまうのか教えていただきたいです🙇‍♂️

(4) a=6, an+1= 3am-8(n=1,2,3, ) で定められた数列 {am}の一般項は, の である。 an= 2、3"-1 さ 実、ア (0 ) 第3節 漸化式と数学的帰納法 35 例題 次のように定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 14 a1=8, an+1=2an-3 解 an+1=2an-3 を変形すると, EG α=2a-3 より, α=3 an+1-3=2(an-3) したがって,数列 {an-3}は, 初項 a.-3=5, 公比2の等比数 列となり, 2 3? 5 an-3=5-27-1 よって, an=5-2"-1+3 42 次のように定められる数列 {am} の一般項を求めよ。 M。 数 列

漸化式と数学的帰納法が苦手なんですがどうしたらいいですか？

(1枚目のの92番です) ここで〜の流れがいまいちよく分かりません 噛み砕いていただきたいです！ (ちなみに問題文は2枚目です)

=k のとき成り立つと仮定す 数学B mを用いて *される。 ここで,a1,ba+t, Gn, baは整数で、 3 は無理数であるから a+1= 2a,+ 3b,bae1= an+26。 (2)(2-(3)" = an-baV3 とする。 2+/3 = a,+b3 で, a, b, は整数。 3 は無理数であるから 1+ *2 と自 い 1 a= 2, b」 = 1 (1) n=1のとき 左辺 = (2-3)-2-J3 右辺 = a-b3=2-/3 よって,Dは成り立つ。 (2 0がn=kのとき成り立つ, すな Lつ。 ての自然数nについて) 1で割り切れ わち (2-3)= a-ba/3 と仮定する。 …2 n=k+1 のとき, ① の左辺を② を用 いて変形すると 立つ。 *定す = (a,-b/3)(2-/3) = (2a,+ 36。)- (ar+2b) 3 1° P(x) (1)の結果より -1)"P(x) + kx° _ kx+1 …2) 2a,+36。 = ak+1, Qk+2bw= ba+1 4=k+1 のとき, ② を用いると であるから (2-(3)* = ak+1 -bゅ+i\/3 となり,① はn=k+1 のときにも成 = x{(x-1)?P(x) + kx° - kx+1} り立つ。 = x(x-1)°P(x) +k(x°-2x+x) +(ーx+2x-1) (1), (2より,すべての自然数 nについて のが成り立つ。 = x(x-1)°P(x) + kx(x-1)?- (x-1} = (x-1)°{xP(x) + kx-1} xP(x) + kx-1はxの整式であるから, のはn=k+1 のときにも成り立つ。 1), 2より, すべての自然数nについて① が成り立つ。 1 11 (2 3 『n とする。 0 n=1のとき O左辺= 1, 右辺=D 2,1I =2 左辺く右辺 ゆえに 92 (1) an+1 + bm+1/3 よって,①は n=1 のとき成り立つ。 (2 0がn=kのとき成り立つ, すな ガ+1 わち = (an+ bn3)(2+/3) Aner t bnr Js (24月)*) (24月))(2月) G1a )

｢n=k+1のとき、与えられた漸化式より〜｣のところで、どうしてもここはn=kなのではないかと思ってしまいます。回答よろしくお願いします。

2節 漸化式と数学的帰納法 39 漸化式と数学的帰納法 [応用 例題 数学的帰納法による一般項の証明 6 次のように定められた数列 {an} の一般項を求めよ。 a」= 2, an+1 1 =2- Qn 解 与えられた条件より 3 a= 2, a2 = 2, Q3 ミ 3' 4 5 a』= よって,一般項は n+1 D Qnミ n となると推定できる。 Cr この推定が正しいことを, 数学的帰納法を用いて証明する。 [1] n=1のときは, 広=2となり①は成り立つ。 [2] n=Dk のとき①が成り立つ。すなわち k+1 ak = k と仮定する。 2=k+1 のとき, 与えられた潮斬化式より 1 ak+1 = 2 dk k k+2 = 2 k+1 k+1 k+1 したがって,①は n=k+1 のときにも成り立つ。 [1), [2] より, すべての自然数nについて①が成り立つ。 n+1 したがって,求める一般項は an= n 3 次のように定められた数列{am} の一般項を求めよ。 1 1 an+1 2' ミ 2-an p.42 練習問題9 数列