3 [2001 大阪市立大]
直
空間内に4点A(0, 0, 1), B(2, 1,0),(0, 2,-1), D (0, 2, 1) がある.
(1) 点Cから直線ABに垂線CH を下ろしたとき, 点Hの座標を求めよ。
(2) 点Pがxy平面上を動き, 点 Q が直線AB上を動くとき, 距離 DP, PQ の和
DP + PQ が最小となる P, Qの座標を求めよ.
る。
[解答
(1) Oを原点とし,Qを直線AB上の任意の点とすると,
AB=(2,1,0)-(0, 0,1)=(2,1,-1)であるから、ある実数 s が存在してい
0Q=OA + sAB = 0, 0,1)+s(2,1,-1)=(2s, s, 1-s)
Hの座標を (2ss, 1-s) とすると CH = 2s, s-2, 2-s)
-
CHとABは直交するから CHAB=0 (25,522-5)(2,1,-12:0
CH･AB=4s+s-2+s-2=0
2
3
ゆえに
S=
よって, Hの座標は
ベクトルの内積=(a,z)=(hi,2)
4 2
(3.3.3) a. 2-a.h, aahe
1) =
3' 3' 3,
4
4
(2) CH=(1/3 - 1/13 1/48) であるから, R を直線CH上の任意の点とすると,
-
3'3
4
4
ある実数tが存在して OR=OC+ICH = (0, 2,-1)+1(138-1 1/31 14/13)
−1)+t{ 3'3
9
・
3
OR の成分が0となるのはt= のときであるから,直線CH と xy平面の交点を
4
Eとすると,Eの座標は (1, 1,0)
Pをxy平面上の任意の点とし, Q を直線AB上の任意の点とすると, 点Dは点Cと
xy平面に関して対称であるから DP=CP
直線 CH は直線ABと点Hで直交しているから CQ≧CH
ゆえに DP + PQ = CP+ PQ CQ CH
=CE+EH=DE+EH
よって, DP+PQが最小になるのは点Pが直線CQ上にあり、点Qが点Hと一致す
るとき,すなわち点 P, Q がそれぞれE(1, 1,0), H ( 1438 2013/10/0
1/28) のときである.
3?
