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基礎問
246
第9章 整数の性質
147 不定方程式 ax+by=c の解
x, y を整数とする.
方程式 2x-3y=7……① について,次の問いに答えよ。
(1) ①をみたす (x, y) の1組を見つけよ.
(1)の (x, y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7②が成り
たつ.
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-β は2の倍数で
あることを示せ.
①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
①をみたす (x, y) に対して,r-y' の最小値とそのときの
x, yの値を求めよ.
ここで, 右辺は3の倍数だから, 2 (x-α) も3の倍数.
2と3は互いに素だから、αが3を因数にもうる
よって、π-αは3の倍数。
247
整数を2つ以上の整数の緑で表したとき
その1つ1つて回数という
同様に, 3(y-β)は2の倍数だから, y-βは2の倍数.
(3) α=2,β=-1 だから,
(2)より, x-2=3n, y+1=2n (n: 整数)と表せる.
は含まいり
例の回
(x,y)=(3n+2, 2n-1) (n: 整数)より3net yantiはだめなのか
ry2=(3n+2)-(2n-1) 2
=9n2+12n+4-(4m²-4n+1)
=5n2+16n+3
=5n+
49
5
nは整数だから,右のグラフより
n=-2 のとき,すなわち,
=(-4,-5) のとき,最小値-9 をとる .
--1
2.3.4.6.12
has
17
|精講
ax+by=c(a,b,c は整数でαと6は互いに素)をみたす (x,y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1) 未知数2つ, 式1つですから, (x, y) は1つに決まりません.
すなわち、たくさんあるということです. その中から, 何でもいいから1組
見つけなさいということです.
(2)-α やy-β をつくるためには,①②をつくるしかありません。
(3) π-αは3の倍数だから, x-α=3n (n: 整数) とおけます.
もちろん, (a,B) は(1)で決めた値です.
(4)(3),yを1変数nで表しているので,r-y' もnで表せます。
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
解 答
(1) x=2,y=-1 とすると,
よって, ①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
ます。
注 このほかにも (x,y)=(5, 1), -1, -3) などがあります。
注 (4)は,①を x=
3y+7
2
として
5
21 + 49 = 5 (+21)² - 49
49
から最小値が -
5
とするのはまちがいです.それは,y は整数だからです。
また,y=-4とy=-5 のときを両方比べて y=-4 のとき,最小と考え
るのもまちがいです. それは, が整数にならないからです.
ポイント
不定方程式 ax + by = c(a,bは互いに素)をみたす整
数の組 (x, y) は、この方程式の解の1組 (α,B) をみ
つけて aa+bβ=cをつくり, 定数項 c を消去する
(2)
2x-3y=7....①
2a-3β=7 ......②
①-②より, 2(x-α)=3(y-β)
8018
演習問題 147
の最小値を求めよ.
方程式 3x4y=① をみたす整数 (x, y) について, r-gl
第9章
