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両辺の同じ次数の頃の係ない
h = 2, -1..
4
2-106
42
00000
重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0)=1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
5等
[ 一橋大 ]
基本15
基本事項
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+
1 恒等式
なお, f (x) = (定数) の場合は別に考えておく。
(a≠0n)とおいて
進める。f(x+1)-f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ
とで次数と係数 αを求める。
1 Aが
2 A,
3 A-
2 条件つ
与えら
3比例
f(x)=c(cは定数) とすると,f(0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって、f(x)=ax"+bx"-1+...... (a≠0, n≧1)* とす
ると
f(x)=1
この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"-1+.....
-(ax" + bx" -1+......)
4(x+1)"
=anx-1+g(x)
ただし,g(x)は多項式で、次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最
高次の項を比較して
=x+nCix"-1+nCzx-2+...
のうち,
a(x+1)"-ax"の最高次
の項は anx-1 で残り
の頃はn2次以下とな
る。
①から
n-1=1 ...... ①an2...・・・ ②
n=2
ゆえに ②から
a=1
c=1
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
anx"-1と2x の次数と
係数を比較。
またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
結果は同じ。
=2x+6+1
よって
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
すなわち
6=-1
したがって
f(x)=x-x+1
POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効
練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数 α, 6に対し、常に
③21 f(x2)={f(x)-ax-b}(x2-x+2) が成り立っている。このとき, f(x) の次数およ
びα, bの値を求めよ。
