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000
重要 121
いう。
おく
y+3
2
すると、
X9
重要
例題
90 2変数関数の最大・最小 (2)
(1) x, y の関数P = x2 +3y'+4x-6y+2の最小値を求めよ。
(2) x, yの関数 Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6の最小値を求めよ。
なお,(1),(2)では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。
指針
[(2) 類 摂南大]
基本79
(特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは、次のように考えるとよい。
xのうちの一方の文字(ここでは」とする)を定数と考えて,Pをまずx
2次式とみる。そして,Pを基本形α(xb)+gに変形。
②残ったg(yの2次式)も、基本形6(y-r) '+s に変形。
③ P=ax2+by's (a>0,b>0,sは定数)の形。
→PはX=Y=0のとき最小値sをとる。
151
→8みたいやつ
(2)xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}+d(y-r)'+s の形に変
逆に条件式があるってどんなの?
形。
CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
3章 ⑩ 2次関数の最大・最小と決定
で、代
(1) P=x2+4x+3y2-6y+2
30
O
=(x+2)2-22+3y2-6y+2
まず, xについて基本形に。
解答
=(x+2)+3(y-1)2-3・12−2
次に, yについて基本形に。
=(x+2)2+3(y-1)2-5
プラフ
なんのため?
三域は
x, y は実数であるから
最
最小
(x+2)20, (y-1)^≧0
よって, P は x+2=0, y-1=0のとき最小となる。
ほう
<P=aX2+ by +s の形。
(実数) 20
x+2=0, y-1=0 を解く
と x=-2, y=1
ゆえに x=-2,y=1のとき最小値-5
(2)Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6
デビー2(y-2)x+2y2-246
={x-(y-2)}2-(y-2)^+2y2-2y+6
=(x-y+2)^+y2+2y+2
=(x-y+2)^+(y+1)^-12+2
ここにxが
x²+x+口の形に。
のこらないように
まず, xについて基本形に。 する!!
次に, yについて基本形に。
Q=ax2+by2+s の形。
(実数) 20
=(x-y+2)+(y+1)+1
x,yは実数であるから
(x-y+2)^≧0. (v+1)^≧0
よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小とな
る。x-y+2=0, y+1=0を解くとx=-3, y=-1 最小値をとるx,yの値は,
ゆえに
x=-3, y=-1のとき最小値1
連立方程式の解。
練習 (1) x, y の関数 P=2x2+y2-4x+10y-2の最小値を求めよ。
90 (2)
r
