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④チャレンジ [金沢大]
αを実数の定数とする。 xの2次方程式x2+(a-1)x+a+2=0 .... ①について 次の
値の範囲を求めよ。 ただし, 重解は1つと数える。
(1) ① 0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつときの値の範囲
含める
(2) -2≦a≦-1 のとき, ① の実数解xのとりうる値の範囲
(1) ① の判別式をDとし, f(x)=x2+(a-1)x+a+2 とすると
D=(a-1)2-4(a+2)=(a+1)a-7),
F(x) = (x + ª−¹)²_ (a+1)(a−7)
4
①0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつための条件は,次の [1]~[3] のいずれか
が成り立つことである。
[1] 0≦x≦2の範囲に重解をもつ
このとき D=005-¹2
D = 0 すなわち (+1)a-7)=0から a=-1,7
a-1
0≤-92¹≤245 -3≤a≤1
a-1
[2] 0<x<2の範囲に重解ではないただ1つの実数解をもつ
このとき f(0) ƒ(2) <0
よって
(a+2x3a+4) <0³5 -2<a<--
[3] 0≦x≦2の範囲にx=0 またはx=2のいずれか一方のみを解にもつ
(i) x=0を解にもつとき a=-2
このとき 他の解は x=3 (これは適する。)←x2+(-2-1)x+(-2)+2=0
(ii) x=2を解にもつとき
4
a=- 3
よって, a=-1 が適する。
このとき、 他の解は =1/3 (これは不適。)
x=
4
よって
-25a<-.
[1]~[3] より 求めるαの値の範囲は
(2) ①から
(x+1)a+x2-x+2= 0
g(a)=(x+1)a+x2-x+2 とおくと, -2≦a≦-1のとき, ① を満たす実数xが存在
するための条件は g(-2)g(-1)≦0
すなわち
x(x-3xx-1) ²0
別解 ①から a(x+1)=-x2+x-2
よって、 2次方程式①の解は,y=a(x+1) とy=-x2+x-2のグラフの共有点のx
座標である。
a=
a=-1
x²-3x = 0
0≤x≤3
x(x-3)=0
(1) 2次方程式 ① の判別式をDとおくと
よって, D=0 のとき a=-1, 7
ゆえに、 2次方程式 ①の重解は a=-1のときx=1, a=7のとき x=-3
4
x=2を解にもつとき, 34+4=0から
D=(a-1)2-4(a+2)=(a-7Xa+1)
x=30
