の形の
命題の対偶は
解答 「a, bがともに3の倍数でないならば, abは3の倍数でない」
である。
a,bがともに3の倍数でないとき、3で割ったときの余りはそ
れぞれ1または2であるから, k, lを整数とすると
a=3k+1 または a=3k+2
と表せる。
b=3l+1 または b=3l+2
[1] a=3k+1, b=3l+1 のとき
ab=(3k+1)(3+1)=3 (3kl+k+1)+1
3kl+k+1は整数であるから, abは3の倍数でない。
[2] a=3k+1, b=3l+2のとき
ab=(3k+1)(31+2)=3 (3kl+2k+1)+2
3kl+2k+1は整数であるから αbは3の倍数でない。
[3] α=3k+2, b=3l+1のとき
ab=(3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+21)+2ことに不
3kl+k+2lは整数であるから, abは3の倍数でない。
[4] α=3k+2, b=3l+2 のとき
ab=(3k+2)(3l+2)=3(3kl+2k+2l+1)+13
3kl+2k +21+1は整数であるから abは3の倍数でない。
[1]~[4] により, 対偶は真である。
したがって,もとの命題も真である。
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......
2
I α またはbは3の
倍数である」 の否定
は、「αは3の倍数
でないかつbは3の
倍数でない」 である。
α=3k±1,b=3/±1
とおいて進めること
もできる。
3× (整数)+1の形
の数は、3で割った
余りが1の数で 3
の倍数ではない。
間接証明法を使う見極め方
検討
間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効かどうかは、 命題の結論から見極める
とよい。 特に, 結論が次のような場合は, 間接証明法を検討するとよい。
① ● または■｣ 「少なくとも1つは●」....･･ ｢かつ」 などの条件から出発できる
② 「●でない」, 「■」 「●である」 などの、 肯定的な条件から出発できる。
(90)
習 対偶を考えることにより、 次の命題を証明せよ。 ただし, a, b, cは整数とする。
50 (1) a²+b2+cが偶数ならば, a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である。
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