4 漸化式の応用
応用 平面上にn本の直線があり, どの2本も平行でなく,どの3本
例題
も同一の点を通らないものとする。 これらn本の直線の交点の
個数を an とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) an+1 を an で表せ。
Tips n本の直線に, 新しく直線を引いたときの交点の個数の変化を考える。
解 (1) n本の直線が αn個の点で交
わっているとき, (n+1) 本目
の直線を引く。
(n+1) 本の直線のうち,どの
2本の直線も平行ではないので
直線1は,もとのn本のすべ
ての直線と交わる。
また,どの3本の直線も同一の点を通らないから,
(n+1) 本目の直線を引くことで,交点はn個増える。
よって an+1=an+n
かけられた
(2) 数列 {an} の階差数列を {bn} とすると,(1)より
bn=an+1-an=n
また, α = 0 であるから, n ≧2のとき
(2) an を求めよ。
n-1
an=a₁ + b₂=k=n(n-1)
k=1
n-1
k=1
この式は,n=1のときも成り立つ。
よって an=1/23n(n-1)
K
n本
練習 5 応用例題1において, n本の直線によって分けられた平面の部分の
個数を an とするとき, 次の問いに答えよ。
(1)an+1 を an で表せ。
anti = Anth ti
(2) an
を求めよ。
[(n²+ 4 + 2)
