要例題|30 n進法の応用
自然数 Nを5進法,7進法で表すと!それぞれ3桁の数 abcs), cab() に
441
T1
なるという。このとき, a, b, cの値を求めよ。
2進法で表すと 10桁となるような自然数は何個あるか。
【類阪南大)
otuON
(昭和女子大)
p.437 基本事項2
CHARTO
n進法で表された数 各位の数字は n-1以下
(1) abc(s), cab(7) をそれぞれ10進法で表して考える。
その際,a, b, cは4以下, かつ aキ0, cキ0 であることに注意する。
(2) n進法で表すとa桁となる自然数xについて, n"-1<x<n° が成り立つ。
また, mSx<n (m, nは整数)を満たす整数xの個数はn-m+1個。
SOLUTION
解答
(1) 3桁の数abc(5), Cab() を考えるから
1SaS4, 0<b<4, 1Sc<4
áのeにどちら体5進数の各位は4以下,
の
62ugか 最高位の数字は0でな
-000001
N=abc(5)= cab(7) であるから
い。
a·5°+b·5'+c·5°=c·7°+a·7'+6·7°9
0(zX
-10進法で統一して, 等
しいとおく。
整理すると
ゆえに
2と3は互いに素であるから,bは3の倍数である。
よって, ①から
[1] 6=0 のとき
これとのを満たす整数 a, cは存在しない。
[2] b=3 のとき
これと0から
以上により
9a+26-24c=0
26=3(8c-3a)
*8c-3aは整数
00
6=0,3|
3と8は互いに素であ
るから,aは8の倍数。
2から
3a=8c
15<3a+2<14であるか
ら 8c=8
のから
8c=3a+2
a=2, c=1
a=2, b=3, c=1
1 2進法で表すと 10桁となるような自然数をxとすると
20-1<x<20 すなわち 2°<x<2'0
*20Sx<20+1 は誤り!
この不等式を満たす自然数xの個数は
(210-1)-2°+1=210_2°=2°(2-1)=2°=512 (個)
2進法で表すと 10桁となる自然数は,
* 2°SxS20-1 と考える。
全0,1を9個並べる重複
順列(基本例題18参照)。
コ口2)の口に0または1を入れた数で
2°=512(個)
あるから
