64.〈ピストンで封じられた気体分子の運動〉
なめらかに動くピストンがついた容器内に質量mの単原子分子
からなる理想気体が封入されている。 ピストンおよび容器は断熱材
でできている。図に示すように x, y, z軸をとり, 容器の断面積は
一様であるとする。 次の問いに答えよ。
〔A〕 まず,ピストンが固定されており, ピストンの底部は容器の
底からんの距離にある場合を考える。
(1)容器内のある1個の気体分子を考え,そのz軸方向の速さを
ひとする。分子がピストンに弾性衝突したときピストンが受
ける力積の大きさを求めよ。
(2) (1)において1個の分子がある時間 4t にピストンに衝突する回数を答えよ。
(3)(2)においてN個の分子によって 4tの間にピストンが受ける平均の力の大きさを答
えよ。ただし,気体分子全体のvzの2乗の平均 22 を用いよ。
〔B〕 次に,ピストンをz軸の負の向きにより十分に小さい一定の速さで押しこんだ
場合を考える。なお理想気体では, 内部エネルギーは各気体分子の運動エネルギーの総和
となる。
z軸方向の速さvz の1個の分子がピストンに弾性衝突した後の軸方向の分子の速さ
vz を求めよ。 また,衝突前後の分子の運動エネルギーの変化量⊿u を答えよ。この際,
1±
b
b は十分小さいことより (10) = 0 という近似が成りたつことを用いよ。
Vz
Vz
Vz
Vz
(54)において⊿t の間のN個の分子の運動エネルギー変化の合計 4U を v22 を用いて答
えよ。 ただし, 4t の間のピストンの移動距離はんに比べて十分小さいものとする。
〔A〕のときの容器の体積を V,気体の温度を T, 内部エネルギーをひとおく。また,
4tの間の体積の変化を⊿V, 温度の変化を⊿T とする。 気体分子全体の速さ”の2乗
44 が成りたつこと
の平均をとしたときが成りたつこと,また,
U
を用いて 4 を 4T, T を用いて表せ。
AV
V
記 (7/3)で求めたを用いて、4tの間に気体がピストンにされた仕事⊿W を答えよ。 また,
この結果を(5) と比較して,気体を断熱圧縮したとき,気体がされた仕事と運動エネルギ
ーの関係について説明せよ。
[23 埼玉大改]
