基本
例題
135 an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式
00000
a=1, an+1=3an+4nによって定められる数列{an の一般項を求めよ。
指針
基本 34
0.464 基本例題 34 の漸化式 An+1=pan+αで,gが定数ではなく,nの1次式となっ
ている。 このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
←
漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり,階差数列{an+1-an}についての漸化式を処理する。
また、検討のように,等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
......
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1)
② ①から
②
bn+1=36+4
α+1Q6 とおくと
差数別 an+2-an+1=3(An+1-an)+4
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
【差を作り, を消去する。
bn+1= 30+4 特性方程式 (b)は(an)の階差数列。
2
これを変形すると bn+1+2=3(b+2)
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
α=3a+4から α=-2
|a2=3a1+4・1=7
4
また
よって, 数列{bm+2}は初項8, 公比3の等比数列で
bn+2=8•3"-1 すなわち b=8・3n-1-2
......
(*)
n≧2のとき
n≧2のとき
n-1
an=a+(83k-1-2)=1+
8(3n-1-1)
(8-3)
n-1
-2(n-1)
an a₁+ br
3-1
k=1
である。
③
k=1
=4・3n-1-2n-1
n=1のとき
4・3°-2・1-1=1=.S.1-1.8=201
α=1であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3"1-2n-1
-b
*
初項は特別扱い
(*) を導いた後, an+1-4n=8・3"-1-2に①を代入してan を求めてもよい。
-2)
