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正
30 群数列の応用
1
2
3
4
5
9
78
6
10 11
'
1'2
2 3 3 3
00000
4'4'4'5 の分数の数列について
初項から第210項までの和を求めよ。
[類 東北学院大 ]
指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。
分母: 1|22|3,3, 34, 4, 4, 45,
1個 2個
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,34, 5, 67, 8, 9, 10 | 11,
基本29
分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子
は等しい。
まず第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
2 34 5 6 7 8 9 10|11
2'23'3' 34'4'4'4
Tal
第1群から第n群までの項数は
1
1+2+3+…………+n=1n(n+1)
2
第210項が第n群に含まれるとすると
(n-1)n<210≤n(n+1)
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
①
もとの数列の第項は
分子がんである。また,
第ん群は分母がんで, k
個の数を含む。
これから,第n群の最後
の数の分子は
n(n+1)
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380,20・21=420 である
から, ①を満たす自然数n は
n=20
また,第210項は分母が 20である分数のうちで最後の数
である。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
+-12-16(-1)+1)+(-1))+
= n(n²+1) + n = n²+1
ゆえに, 求める和は
k=1
k2+1
=1445
20
\k=1
2
･・20・21=210
は第n群の数の分
子の和等差数列の和
+1)=(20-21-41
n(2a+ (n-1)d)
6
+ 20 )
