礎問
44 はさみうちの原理(I)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ.
(2) 数列の和 S=
k-1
(1)1nで表せ。
(3) lim Sm を求めよ.
n→∞
FOX
(1) 考え方は2つあります。
|精講
I. (整数)” を整式につなげたいとき,2項定理を考えます。
(ⅡB ベク4
Ⅱ. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク 137
(2) 本間のΣの型は,計算では重要なタイプです. (IIB ベク121)
S=Σ(kの1次式)k+c (r≠1) は S-S を計算します。
(3) 極限が直接求めにくいとき 「はさみうちの原理」という考え方を用いま
bn≦an ≦ cn のとき
limbn=limc=α ならば liman = a
1-0
n→∞
この考え方を使う問題は、ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴があり
す.(ポイント)
解答
(1) (解I) (2項定理を使って示す方法 )
n
+1)=kk に x=1 を代入すると
k=0
2"=mCo+nCi+nC2+... +nCn
n≧1 だから,2"≧„Co+C=1+n>n{
2">n
(解II)(数学的帰納法を使って示す方法
2">n
(i) n=1のとき
(左辺)=2, (右辺)=1 だから, ①は成りたつ.
(
