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基本(例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1) 0000
(1) 多項式P(x) をx-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。
のとき,P(x) を x 2-3x+2で割った余りを求めよ。
[ 近畿 ]
(2) 多項式P(x) を x2-1で割ると4x-3余り, x2-4で割ると 3x +5余る。こ
のとき,P(x) を x2+3x+2で割った余りを求めよ。
慶応大
●基本 54 重要 57
指針 P(x)が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか
ない。このような場合, 割り算の等式 A =BQ+R を利用する。
特に、余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから,R=ax+b とおける。
条件から,この a,bの値を決定したい。それには,割り算の等式 A=BQ+Rで
B=0 となるxの値 (これを●とする)を考えて,P(●) の値を利用する。
基本等式 A=BQ+R
CHART 割り算の問題
①Rの次数に注意 2 B=0を考える
(1) P(x) を x2 - 3x +2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと
解答
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り
立つ。
条件から P(1)=5
P(2)=7
ゆえに a+b=5
ゆえに
2a+b=7
(2)
剰余の定理。 また
の両辺に x=1 を代入
①,②を連立して解くと
a=2,6=3
すると P(1)=a+b
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
よって, 求める余りは 2x+3
2次式で割った余りは、
1次式または定数。
B=(x-1)(x-2)
鳴ったりで
している。
●謝りにどんな値を代
利用して
どんな値を代入しても
体内な値を代入することで
(O)の値も利用して
ここで未定
また、代入する」の値は
これは、Qxx)も式が不明な
する」はわからない
なるようなょの値を代入す
しまって、なα、あの
とができるからである。
(2)P(x)x+3x+2 すなわち (x+1)(x+2)で割ったと 2次式で割った余りは、
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り
1次式または定数。
<B=(x+1)(x+2)
(x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQi(x), Q2(x)
P(-2) が必要。 そこ
で,①②にそれぞれ
x=-1, x=-2を代
(3)
●の式のお方の工
して、あのような
くまでは同じ
上がったときの伸
立つ
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
また,P(x) を x2-1, x2 - 4 すなわち (x+1)(x-1),
a,bの値を決定する
......
イ
ためには,P(-1),
とするとP(x)=(x+1)(x-1)Qi(x)+4x-3
******
①
P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5
(2)
入。
①から
P(-1)=-7
②から
P(-2)=-1
③ ④ を連立して解くと
これとイから -a+b=-7
これとイから -2a+b=-1
④
a=-6, b=-13
求める余りは-6x-13
② 55
練習 (1) 多項式P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが1のと
P(x) を x-x-6で割った余りを求めよ。
(2) 多項式P(x) を x2 +5x+4で割ると2x+4余り, x2+x-2で割るとx+2余
るという。このとき,P(x) を x2+6x+8で割った余りを求めよ。
[(1) 立教 (2) 東京電機]
p.100 EX36
ったときののにし
よって PO
147
