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目標解答時間 15分
45
難易度 ★★★
太郎さんと花子さんは, 次の宿題について考えている。 2人の会話を読んで, 問いに答え上
宿題
方程式 7x+17y=1 ①の整数解をすべて求めよ。
y=ーイ]が方程式①の整数編
太郎:xに0, 1, 2, …と順に代入していくと, x=ア
の一つということがわかったよ。
花子:①と 7·ア+17·(-イ])=1 の辺々を引くと
7(x-ア])+17(y+イ]) 3D0
となって,7と17は互いに素だから, ①の整数解は
(kは整数)
k+
ア,y=7k-イ
ウエ
x=ー
だね。
ウェ]に当てはまる数を求めよ。
ア
太郎:でも, xに0, 1, 2, …と代入して調べていくのはちょっと大変だから, 別の方法はないかな。
例えば,①を変形して, x=
1-17y
……) として考えてみるよ。 xは整数だから, ③にお
7
ける17y は7で割るとオコ余る数だね。
花子:面白い考えだね。 それなら17を7で割ると余りが3だから, それを利用すると, ③は,
1+7(-2y)-3y _-2y+
1-3y
7
となって, 3yは7で割るとオ]余る数だね。
x=
7
太郎:すると, 17yや3yと同様に, yは7で割るとオ余る数ということかな。
花子:本当かな。 yを7で割った余りをmとすると, しを整数として, y=7l+
ができて, そこから考えると, yは7で割ると
カ
と表すこと
キ余る数だよ。
キ
に当てはまる数を求めよ。 また,
に当てはまる最も適当なものを, 次の
カ
O~③のうちから一つ選べ。
m (mは整数)
7m(m は整数)
0 m (mは0以上6以下の整数)
③ 7m (mは0以上6以下の整数)
