赤の線になる理由を教えてください

例題 10 関数とその逆関数のグラフの共有点 思考プロセス f(x) = √x+1 とするとき, y=f(x)とy=f(x)のグラフの共 のx座標を求めよ。 « ReAction y=f(x) の逆関数は、値域を求めてxについて解け 条件の言い換え まず, f(x)と 例題9 y=f(x) とy=f-1 (x) の グラフの共有点のx座標 方程式 f(x) =f-1(x) の 実数解 ← xの値の範囲を 求める。 (別解) 見方を変える y=f(x) とy=f-l(x) のグラフは直線 y=x に関して対称 直線 y=x上にある共有点はf(x)=xの実数解 y=√x+1 ... ① の定義域はx≧-1 まず逆関数f(x)を める。 であり, 値域は y≥ 0 6 y=f(x) ①の両辺を2乗すると y2=x+1 9 xについて解くと x=y2-18- 1 -1 0 x xとyを入れかえると, ① の逆関数 は y=f-l(x)=x-1 -1 y=f¹(x) ② その定義域は x≧0 PB 1 ①と②を連立すると √x +1 = x2-1 2/2 ・③ このとき,x2-10 より x≦-1, 1≦x …④ √f(x)=g(x) ③ の両辺を2乗すると x+1 = (x²-1)² ⇔f(x)=1g(1 x4-2x2-x=0 となり xについて解くと x = -1, 0, x(x+1)(x2-x-1)=0 1±√5 かつ gx p. 25 Play Back 1 参 2 y = f(x) と y=f-l(x)の定義域および ④ より 1≦x (別解) よって、 求める共有点のx座標は 1+√5 X= 2 y=f(x) と y=f'(x) のグラフ は直線 y= x に関して対称であ りこれらのグラフの共有点は,右 の図より直線 y=x上のみにあ る。よって, 共有点のx座標は √x+1=x(x>0) y=f(x) 0 2 -1 | y=f¹(x) 1+√5x 両辺を2乗すると x + 1 = x2 すなわちx-x-1=0 x>0より 1+√5 x= 2 グラフから,明らか |共有点が直線 y=x のみ存在するときは、 |線y = √x+Iと y=xの交点を求めて い ただし、一般に共有 直線 y=x上にしかな とは限らない。 y=√-x+14y 10f(x)=√x+6とする! info.tan. y=

☆高校数学IIです☆ この問題がわかりません💦解説を見たのですが納得できず困ってます😅 どなたか解説お願いします🙇‍♀️

例題 228 関数の決定(2) ( **** (1)関数f(x)がf(t)dt=x'+x2+x+1 を満たすとき,f(1) の値を求 めよ.また,実数の定数αの値を求めよ. f(t)dt=x-x+α を満たすとき,f(x)と定数αの (駒澤大) 変数 値を求めよ. 考え方 Sf(t) dt は、 上端が変数 x なので、原始関数F (t) に変数 x と定数αを代入することになり,xについての関数となる. これをxについて微分すると, 例題 関 求め 考え方 解答 aff(t)dt=dx[F(1) -1(F(x)-F (a)}=F'(x)=f(x) =(x関数) www m となることを利用する. Ja (1)与式の両辺を微分すると,cxSf(t) dt=ax(x+x++) より,f(x)=3x2+2x + 1 よって,f(1)=3・1°+2・1+1=6 [ またSf(t) dt=0 であるから,与式の両辺の上端のに下端と同じ衛』 xにαを代入して 0=a'+α2+a+1 (a+1)(a+1)=0 を入れて, Sf(t)dt=0 (2) Sf(t) dt=-Sf(t)at より与式は aは実数だから a2+1 ¥0 より a=-1 J =dを利用する. Soft)at S f(t) dt f(t)dt=-(x²-x+a) 1.81 を利用して, 変数 xが上 両辺をxで微分すると, より、 aSf(t)dt=ax (x+x-a) f(x)=-2x+1 また,f(t) dt=0 であるから,与式の両辺 1 を代入して0=(- よって, Focus a=-2 1 になるようにする. 下端の定数に関係なく Sf(t)dt=f(x) x = -1 を代入する. fred=0を利用する )=0 結羽 aff(t)du=f(x) (aは定数)

☆高校数学IIです☆ 問題文に接線の傾きが3xの二乗+6x-9となってるのですがどうしてその式を積分するのかがわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

**** 例題 220 曲線の決定 曲線y=f(x)は点 (1,3) を通り,その曲線上の任意の点(x,y) にお ける接線の傾きは 3x2+6x-9 に等しいという. この曲線の方程式を求め よ 考え方 曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きはf'(x)より、 f'(x)=3x2+6x-9 となることと, 曲線が点 (1, -3) を通ることを利用する。 f'(x)=3x2+6x-9 より f(x)=f(x)dx = (3x2+6x-9)dx =x+3x2-9x+C (Cは積分定数) 曲線 y=f(x)は点 (1, -3) を通るから,f(1)=-3 したがって 13+3・1°-9・1+C=-3 より C=2 よって、 求める曲線の方程式は, y=x2+3x²-9x+2 接線の傾きはf'(x) Cを忘れずに!! y=f(x) に x=1, y=-3 を代 入する. Lecua zb(8

増減表についてです。 赤枠で囲んだ部分のプラスマイナスを判定する良い方法を教えていただきたいです。 できれば簡単な方法でお願いします🤲

2 第1章 1変数の微分積分 例題1 (関数のグラフ, 数列) x を非負の実数,r0r<1 を満たす実数とし, 関数f(x) を f(x)=xr* と定義する。 このとき、 以下の問いに答えよ。 df (1) f(x) の導関数 および第2次導関数 dx d2f dx2 を求めよ。 (2) f(x)の増減表を書き、関数y=f(x)のグラフの概形を描け。 (3) n を正の整数とし, 数列 {a} の一般項を an=f(n-1) により定義 する。このとき,初項から第n項までの和を求めよ。 <東北大学工学部〉 ◆アドバイス! (ax)' = a *loga 証明は簡単! 解答 (1) f(x)=xr* より f'(x)=1·r*+x.r*logr= (xlogr+1)r* ・〔答〕 公式: また f" (x) = logror*+(x logr+1)*logr = logr(xlogr+2)r* ・〔答〕 (2) f'(x) = (xlogr+1)*= 0 とすると 1 x= (>0) logr f" (x) = logr(xlogr+2)*=0 とすると x=- 2 logr (> logr よって, 増減および凹凸は次のようになる。 x f'(x) f" (x) 1 2 (+8) logr logr + 0 - 0 + y=α とおくと logy = loga =x loga 両辺を微分すると y y'=loga ..y'=aloga f" (x) 凹凸: f" (x) ・f'(x) の変化 f" (x) > 0 接線の傾き ⇒接線の傾きが増加 グラフは下に凸 y=f(x) したがって (3) an= k=1 この S= SS rs= 2 f(x) 0 rlogr logr 2 2r logr logr (0)

この問題がよく分からないので教えて欲しいです。

⑥関数f(x)=x3+3x²-4x+7x-1における微分係数f(1)はf'(1)= で あり、この関数y=f(x)のグラフ上の点(1)における接線の方程式はy= である。 x+

最後のθをtanの式にどうやって変えたのか教えてください🙇‍♀️

2014 → √3 TC (6) = 13) -4x+5(x-2)²+1 x-2=tan0 とおくと、 1 x²-4x+5 Practice 42 dx = 18 1) ME> 1 dx = 1 1 de cos² dx = √ cos20. cos³ de. de=fd0=0+ C = tan(x-2)+ C.

(3)の所でyが0になるのはわかるのですが何故青線の所が無くなっているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

89 共通接線 2つの曲線 C: y=x', D:y=x2 + px+g がある. (1) C上の点P (a, α) における接線を求めよ. (2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線はと一致する. こ のとき,pg をαで表せ. (3) (2) のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ. 精講 (2) 2つの曲線 C, Dが共通の接線をもっているということです が,共通接線には次の2つの形があります. (I型) (Ⅱ型) y=f(x) y=g(x) y=f(x) y=g(x) アイは一致するので, 3a²=2a+p, -2a=q-a よって, p=3x²-2α,g=-2a3+α² (3) Dy=x+ +2 +q-2 だから, 曲線 Dがx軸に接するとき, 頂点の座標は 0 ∴. 4g-p=0 <x²+px+g=0 の 9-2²=0 4 よって, 4(-2α²+α²) (3a²-2α)²=0 4a(−2a+1)-α(3a-2)²=0 a^{-8a+4-(9α²-12a+4)}=0 a³(9a-4)=0 判別式=0 でもよい 展開しないで共通因 数でくくる 4 .. a=0, 注 α=0 が答の1つになること は,図をかけばx軸が共通接線 であることから予想がつきます. D (二次関数)がx軸に接するというのは 頂点のy座標が0になる or Dの判別式が0となる。 0 x (2)はポイントを使うと次のようになります. 違いは, 接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP で一致しているので(I型) になります. どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります. 解答 (1) y=xより, y'=3x2 だから, P(α, α3) における接線は, y-a=3a(x-α) :.l:y=3ax-2a ...... ア (2)PはD上にあるので, a'+pa+q=a° ...... ① また,y=x'+px+g より y'=2x+p だから, Pにおける接線は, y-a= (2a+p)(x-a) :.l:y=(2a+p)x+a-2a-pa 85 f(x)=x, g(x)=x2+px+q とおくと f'(x)=3x', g'(x)=2x+p [a=a+pa+g . 3a²=2a+p [p=3a2-2a よって, g= -2a3+α² ポイント 2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) 共有し, その点における接線が一致する -f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t) 点 (t, f(t)) を y=(2a+p)x+q-a° ...... ① (∵: ①より) 演習問題 89 関数f(x)=x2+2 と g(x)=-x+ar のグラフが点Pを共有 し, 点Pにおける接線が一致する. このとき,αの値とPの座標を 求め上

微分に着いてです。総合問題30の方で質問があるのですが、類題では（画像3枚目）x＝0になる場合も考えているのにこの問題では考えていないのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

用いて表す。 総合 実数a, b に対し, 関数f(x)=x^+2ax3+(a2+1)x2-a3+α+bがただ1つの極値をもち, その 30 極値が0以上になるとき, a, b の満たす条件を求めよ。 f'(x)=4x3+6ax2+2(a2+1)x=2x(2x2+3ax+a2+1) [類 横浜国大] 本冊 数学Ⅱ 例題 218 まず、微分する。 f'(x) =0 とすると x=0, 2x2+3ax+a2+1=0 xの2次方程式 2x2+3ax+a2+1=0 ...... ①の判別式をDと ←① の実数解の個数が するとD=(3a)2-4・2・(a+1)=α²-8=(a+2√2) (α-2√2) X [1] D>0 すなわち a< 2√22√2 <a のとき カギとなる。それはD の符号によって変わって くるから,D>0,D=0, α+1>0より,x=0は①の解ではないから,①はx=0以D<0 に分ける。 外の異なる2つの実数解をもつ。 ゆえに、f'(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。 この3つの解をα, B, y (a<B<y) とすると, f (x) の増減 x 表は次のようになる。 10 a B r ... ←本冊 p.347 の 参考 参 0 +0 0 + 照。 極大 \ 極小 > f'(x) f(x) 極小 よって, f(x) は極値を3つもつから、不適。 ◯[2] D0 すなわち a=±2√2 のとき ①は重解 x=- 2-2 3 3a == -α をもち 2x2+3ax+a2+1≧0 4 3 ←等号はx=- aのと き成り立つ。 (i) a=2√2のとき 3√√2 f'(x) = 0 は x=0, を解にもつから, 3√√2 XC 0 2 -2 f(x) の増減表は右のようになる。 f'(x) - 20 + 0 + よって, f(x) は x=0で極小となり, 極値0- を1つだけもつから,適する。 f(x) 極小 f √(3√2) (ii) a=2√2のとき f'(x)=0 は x=- 3√√2 2 0を解にもつか 3√√2 XC 0 ら,f(x) の増減表は右のようになる。 2 値を1つだけもつから,適する。 よって, f(x) は x=0で極小となり,極 f'(x) - 0 f(x) (3√2 2 20 ▼ 極小 > : +

微分の問題なのですが、これはxの値は変化するけどtの値は不変なのですか？x、tがそれぞれどのような役割を果たしているのかわからないので教えて頂きたいです。

EX @158 (1) (t+t)(t+[t-1)= 大教える [1] x≦0 のとき (2)y=f(x) のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 0 実数全体を定義域とする関数f(x) を f(x)=3f (t+t)(t+t|-1)dt によって定める。 (1) y=f(x) のグラフをかけ。 x-1 [類 慶応大] 2t(2t-1) (t≥0) (t<0) ←tl=1 t (t≥0) -t (t<0) ←x≦0 のとき, t≦x から t≦0 x-1≦tsxにおいて (t+t)(t+|t|-10 よってf(x)=3f_0dt=0 [2] x-1<0<x すなわち 0<x<1のとき x-1≧≦0 において (t+|t|)(t+|t|-1)=0 0≦t≦x において ①場合分けして (t+|t|)(t+|t|-1)=2t(2t-1) よってf(x)=3f0dt+3f2t(2t-1)dt SS (121² -61)dt= [41³-31"]" より =4x3-3x2 したがって グラフを書 ②0を群にい 2 分け る (水) 大は動かない ←f(x) は3次関数とな るから, 微分法を利用す る。 f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1) 1 x 0 f'(x) =0 とすると x = 0, 2 f'(x) f(x) 0<x<1における f(x) の増減 表は,右のようになる。 - [3] 0≦x-1 すなわち x≧1のとき)(1 x-1≦t≦x において よって f(x)=3S_21(2t-1)dt=[41-312] |12|0 1 4 ... 1 + (t+|t|)(t+|t|−1)=2t(2t−1) x-1 =4x3-3x2-{4(x-1)-3(x-1)^} 3 \2 =12x2-18x+7=12x- + [1]~[3] から, y=f(x) のグラフは,右の図の実線部分の ようになる。 (2)(1) のグラフから,求める面積Sは 3 --------[x*x−1}]* S=- =- 4 --(3-)*(-1)-256 27 YA 1 14 1 4 2 31x 7章 EX [積分法]

誤答はなぜ間違いなのですか、、

(2) 関数f(x)=x-1+2 について,次の問いに答えよ。 (i) f(0),(2), f (4) の値を求めよ. (i) 定義域が 0≦x≦3 のとき, 値域を求めよ.