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基本 例題 32 an+1=pan+g" 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-3+1 309
CHART & SOLUTION
漸化式 an+1=pan+g" (カ≠1)
両辺を
n+1で割る
② 両辺を+1で割る
an+1P.ant. の形 bn=on とおくと bn+1=1/2but 1
2n+1
9
an+1
9
9 9"
an
q
もの係数が1
an
とおくと bn+1=1.6n+
+1/2 (%)
bn=-
の形
2 +1(2)" OH =
+1
p"
FRAF
答
an+1
2 an
an+1=2an-3n+1 の両辺を 3"+1で割ると
3n+1
3 31
an
bn=3 とおくと bn+1=120-1
00000
基本 29 30
←の方針。
anpan+g型になる。
2
これを変形するとbn+1+3=1/2/3(bm+3)
ta=
/3α-1 を解くと
a=-3
=
また b.+32 +3-1233 +3=4
よって, 数列{bm+3} は初項4,公比 / の等比数列であるかb,+3=c, とおくと
2n-1
2\n-1
2
ら
bn+3=4•
ゆえに bn=4.
Cn+1=
-3
Cn
3
3
3)
したがって
an=3"bn=3.2n+1-3n+1
2\n-1
←4·
•3"=4.2"-1.3
(別解
An+1
2n+1
an
2n
3\n+1
an
n-1
bn=b1+
3
2
n
=6-3•|
2-1
b1
=
したがってan=2"b"=3.2"+1+1
であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。n=1 とすると
PRACTICE 323
0-8-0
6-3-
33
2
201
an+1=2an-3n+1 の両辺を27+1で割ると
3+1
a
b. = 127 とおくと but1 = b.(2/2)72 またbi=201212210m) の階差数列を (ca)
よって, n≧2のとき
32/3\n-1
(3)
32
3
〒
とすると
Cn=bn+1-bn=-()"
2n+1
2,
3・2"+1
JEN
別解 は2の方針。
階差数列の形になる。
3
