にお
本 201
木 例題 203 不定積分の計算 (2)
y0.n
を自然数とする。 公式S(ax+b)dx=1
(ax+b)+1
a
n+1
+C
00000
(Cは積分定数)を用いて,不定積分(x-1)(x+1)dx を求めよ。
CHART SOLUTION
&
(ax + b)" の不定積分
"
ax+b)
b)"dx=1.
a
n+1
を自然数とするとき, 次の公式が成り立つ (in 参照)。
+C (Cは積分定数)
(ax+b)+1
基本 201
く。
319
(xa)(x-β)=(x-2)^{(x-a)+α-B}=(x-a)+1+(α-B)(x-α)" を利用して
(x-1)(x+1)=(x-1)^{(x-1)+2}=(x-1)+2(x-1)^
と変形すると, (ax + b)” の不定積分の公式が使える。
2
fx-1)(x+1)dx=f(x-1)*((x-1)+2)dx
=f{(x-1)+2(x-1)*}dx (
=f(x-1)*dx+2f(x-1)dx
=(x-1)*+2.(x-1))
4
+C
113 (x-1){3(x-1)+2.4)+C
inf. (x-1)(x+1)
=x-x-x+1
と展開して積分すると
+x+C
4 3 2
左の答えの式を展開すると
xx3x²
闘 4 3 2 +x- -+C
5
12
答えが異なるように見える
が、Cは「任意の」定数な
71
ので、どちらも正解。
=
(x-1)(x+5)+C (Cは積分定数)
21
12
INFORMATION
微分法の公式{ (ax +6)"}=n(ax+b)-1α (p.278 参照) において,
nを n+1 におき換えると
よって,a0 のとき
(ax+b)n+1)
n+1
したがって
{(ax+b)"+1}'=(n+1)(ax+b)" a
f(ax+b)dx=1, (ax + b)..
=(ax+b)"
+C ←
を忘れずに!
a
n+1
a
特に,α=1のとき
S(x+b)"dx = (x+6)=+
-+C (ともにCは積分定数)
n+1
(A)
PRACTICE 2036
上の例題の公式を用いて、 次の不定積分を求めよ。
(0) (2x+1)^dx
(2) (t+1)(1-t) dt01 (1)
