重要 例題 61 n≦k の仮定
数列{an} (ただしan> 0) について,関係式
(a+az+......+an)=a3+a2+....+α
が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。
指針 自然数nの問題であるから、数学的帰納法で証明する。
「n=kのときan=n が成り立つ」 と仮定した場合, a1=k-1,-2=k-2,
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成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 A が
作れなくなってしまう。
(1+2+......+k+ax+1)=1+2+......+k+α+13
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したがって,nkの仮定が必要となる。 そこで, 次の [1], [2] を示す数学的帰納法
を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1のとき成り立つ。
[2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
CHART 数学的帰納法 n≦k で成立を仮定する場合あり
