57 △ABC は 1辺の長さが1である正三角形で,辺BCを1:2に内分する点をD
とする。 △ABCの外接円と ADの延長が交わる点をE, 点Dから線分 BE, EC
に下ろした垂線をそれぞれDK, DLとする。 このとき, 次の問に答えよ。
(1) 線分 DE の長さを求めよ。
(2) 面積比 △ABC △DKL を求めよ。
[解] (1) AD=x, DE =y とおく。
△ABC は正三角形であるから
弧 AB の円周角であるから
よって
∠ABD= ∠AEB
また
∠BAD= ∠EAB
よって
AABD AAEB
したがって
AB:AE=AD:AB
(東京慈恵会医科大) 15分
①②より
x>0*5 x = √7
E
2:√7-2√7
C
∠ABD = 60°
∠AEB= ∠ACB=60°
したがって
y=
2√7
すなわち
DE =
21
(2)(1)より
∠AEB=60°
弧 AC の円周角であるから
∠AEC= ∠ABC=60°
よって
DK=DL=
√3 √21
-y=
2
21
1:(x+y)=x:1
x'+xy=1
点Dは辺BCを1:2に内分するから
BD=131 2
CD=
弧 AC の円周角であるから ∠ABD= ∠CED
∠BAD=∠ECD
弧 BE の円周角であるから
AD:CD=BD:ED
よって
AABDACED
って
x:
1
: y
∠EDK= ∠EDL=30° であるから
<KDL = 30° + 30° = 60°
よって, ADKLは正三角形である。
したがって, △ABC∽△DKL であり, 相似比は
√21
1:
21
=√21:1
面積比は
AABC:ADKL=21:1
xy=
2-9
