4. 解けない漸化式と極限(1)
a
2.2,+
2
Cn
ニ
2」=a(a>1), In+1
(類,鹿児島
3
n→0
ーVas(エ,-Va)であることを示し, limz,を求めよ。
Cn+1
☆のkが定数でないと
1より小さいn個の正数の有
2n-1 2n-2
【Point) 簡単には解くことのできない2項間の漸化式aの+13f (an)の極限値を
求めるのに,前問のように視覚に頼らないとすれば, 2つの方法があってここで
第1の方法を紹介しよう. (次の5.が第2の方法)
まず, 3. の方法などにより極限値αを予想し, 与えられた漸化式から
2n
2n+1
2n
2n-1
n+1
は
2n+1
で,n→ oのとき
は収束しない(1/2に収束)
考えると,☆のえは “定
いと,an→ a(n→ )
できない。
■入試では
本間のように,とりあえ
等式を証明させる問題
『If'(z)|の最大値をM
α=f(a)によって定める
値の定理により,
If(a,)-f(a)|<MIc
. lan+1-a|<M\a
という流れの問題も少た
ちろん, M<1を示すこ
lan+1-a|Sklaォーal, kは0<kく1である定数
の形の不等式を導く. すると,
0Sla,-a|S"-la,-al
→a (n→co)
であるから,はさみうちの原理により, Iam-al→0
【解答)
また, あきらかに Iル>0であるから, 相加· 相乗平均の不等式により,
an
a>1 により, z;=azVa
a
a
Ce+1
.2."c /8z
={a
三
3
2
2
よって, つねにx,NVa である. 次に,
2
2月+1一as(エ,-)
2
a
2
32,2
n
3
3
1
-ハ小のん a
3
a
3エ
トになる。
2
であるから,確かに~が成り立つ,この ~を繰り返し使うことにより,
n-1
0S2,-as)(z)-Va)
3
よって,はさみうちの原理により, lim (x,-Va)=0 .. limz,={a
n→0
n→0
