例題 C1.56 三角形の面積と四面体の高さ
3点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0),C(0, 0, 3) とし, 原点Oから平面ABC
上に下ろした垂線の足をHとするとき、 次のものを求めよ。
(1) △ABCの面積S
(3) OH の長さ
考え方 (1) S=1/21 ABAC(AB･AC) より求める。
解答
45151
(2)△OAB を底面として、V=1/×(△OAB の面積) OC
(
(3)V については, OH をVの高さとし V=1/
Jimm
3
-XSXOH
とも表せる.これが(2)の値と等しいことを利用する.
(2) DUIHI* OABC OHVB 01 X\
V
(4) 四面体OABCの内接球の半径
₁ S=₂√|AB|²|AC|³—(AB·AĆ)²
(3) V=
v=×(OAB) ×OC=×1×3=1
v=xSxOH=1××OH-OH
7
32
-XSX
よって,
(4)
V=×(AOBC+AOAC+AOAB fi+\ABC ⁄)×,
(1) AB=(-1,2,0), AC = (−1,03) より,
|AB| =√5, |AC| =√10,
AB AC=1
Chop
6
(2)より、V=1だから OH=1
7
6
1/AB³AC²-(AB-AC)²+) B
S
=x√5.10-1= A.
(2) (OAB)——×OAXOB-X1X2=1 S-AB³AC-AB-AC
TO SADA
7.
2
14 (OBCの面積)=1/12 >
×2×3=3
(AOAC)=2×1×3=3/2
-
-X1X3=
ツ
HOW
(△OAB の面積) = 1, (△ABCの面積)
3>83 (X)
タート
* 9₁ V = ²3² ×(3+³² +1+²7)x=
より,
Xr=3r
(2)より,V=1 だから,3r=1 よって
****
A
7
2
3-1 (6×5=5.03
OH=
[== ASKOPSA A(1, 0, 0)
STROKOVEJ L t z k
内接球の中心をIとすると
V=IOBC
B B
A
75
-----
OCLxy
ZA
(1-0)-0²-²
C(0, 0, 3)
SS10 A B(0,2,0)
33J+ IOAC
+ IOAB
+DIABC
B
C
C
30mA xD/
