例題 56
連続と微分可能
(
****
関数f(x)=
sin
1
x
0
微分可能か .
(x=0)
(x=0)
か
は,x=0 で連続か. また, x=0 で
「考え方
連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える.
< 連続>
〈微分可能>
KAP
f(x) がx=a で連続
f(x) が x=aで微分可能
220 ⇔ limf(x)=f(a)
x → a
⇔f'(a)=lim
f(ath)-f(a)
70
k→ 0
h
が存在する
解答
このとき「微分可能であれば連続」 であるが,「連続であっても、微分可能とは限らな
「い」ことに注意する.
x=0で0sin
ossin1/10より
0≦x°sin
limx2=0 より
x0
| ≤x²
x
1,
lim|x'sin |=0
x
limf(x)=limxsin-
したがって,
x0
0fx
-=0
x
f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり,
x 0
関数f(x) は x=0 で連続である.
f(0+h)-f(0)
次に,
lim
h→0
h
1
h² sin
0
h
=lim
h→0
h
limf(x)=f(0) であるか確
かめて, x=0 で連続かど
うか調べる.
x20 より 各辺にxを
掛けても,不等号の向きは
変わらない.
各辺をx→0として極限
をとり、はさみうちの原理
を利用する.
x=0 で微分可能かどうか
調べる.
YA
|y=f(x)
=limh sin-
h→0
h
0≦|hsin/12/11hl.limh=0より①は、
limhsin12=0
h→0
h
よって, f'(0) が存在するので,
関数f(x)はx=0で微分可能である.
f'(0)=0
注〉x=αで連続であることとは別にx=αで微分可能であることを示す必要がある.
練習
x
56
**
f(x)
* sin(x0)
は, x=0 で連続か. また, x=0で微分可能か
(x=0)
→p.131
