黄色蛍光の部分が分かりません。どういう意味ですか？

重要 例題 232 置換積分法を利用 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 (2)(1) の等式を利用して、定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 (2) f(x) = - ex とすると, f(a-x)=caxtex ex tea-x このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xtの対応は右のようになる。 よって (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t) (dt) Sof(t)dt 指針 (1) α-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお,定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 ea-x であり So f(x)dx=(左辺) Y x 0 →a a → 0 fet (1) 7 00000 基本228 重要 233. ******.. f(x)+f(a-x)=1 - f(x) dx =Sof(x)dx 定積分の使 重要 (1) 連絡 (2) (1) 指針 (1 解答 (1) x= xと 証明

媒介変数表示の曲線の場合に、写真2枚目のθ＝0など、 f'(x)=0でないところで値がどうなるかを考えるのはなぜなのでしょうか。また、その値はどのように決めるのでしょうか。 一枚目などの問題では、そのような条件が増減表に示されてないため、考えるときとそうでないときの違いも教... 続きを読む

00000 基本例題 241 定積分で表された関数の最大・最小(1) ~2x≦2のとき、関数f(x)=f'(r)e" dt の最大値・最小値と、そのときの 基本 239,240 の値を求めよ。 指針 dxf.g(t)dt=g(x) を利用すると,導関数f(x) はすぐに求められる。 よって、f(x) の符号を調べ、増減表をかいて最大値・最小値を求める。 なお、極値や定義域の端でのf(x)の値を求めるには、部分積分法により定積分 (1-t)e' dt を計算して, f(x) を積分記号を含まない式に直したものを利用するとよい。 解答 f'(x)=0 とすると x=±1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 -2 -1 1 0 0 極小極大ゝ また S'(x)=&S(1-t)dt=(1-x*)ex 241 x f'(x) ゆえに したがって - f(x)=S+(1-t) (e^*)'dt =[(1-1"erl +2f, te'dt =(1-x*e* 1+2([terl-Serat) f(2)=1-e² ここで, f(-2)<f(1) であり, f(-1) f(2) の値を比較すると =(1-x2)ex-1+2xex-2(ex-1) =(-x²+2x-1)ex+1 =1-(x-1)'ex よってf(-2)=1-123, f(-1)=1-4, f(1)=1, 9 f(-1)-f(2)= e-4>0 e + f(-1)>f(2) x=1で最大値1, x=2で最小値1-² 2 1 から、f(x)の特号 符号と一致する。 部分積分法 (1回目)。 部分積分法(2回目)。 <S²4-[~ I =8²-1 最大・最小 との値をチェック 増減表から、最大値の候補 は (-2), f(1) 最小値の候補はパール から) ∫(x)=e'costdt (OMx2x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。 Ian Ca

数学3 積分法の応用 y=-1/exとy=x^2e^xの共有点を 求めるために -1/ex=x^2e^xという式を立てて求めようと したのですがうまくいきません、 どうやって計算するのでしょうか、、？？

2 X e -éx= x²e² x² ex 2 e é) x(xé tế):0 ?? X=0 x x = 0 P-1

３番の答えって間違ってますか？

97 部分積分法 (III) 次の定積分の値を求めよ. (1) Solog(x+1)dz (3) Srlog (x²-1)dx 精講 (1)は85とそっくりですからもうわかっていると思いますが,ひと 工夫してほしいところです. (2) じゃまもの(=10gx) 消去型の部分積分です. (3) 2-1をひとまとめに考えると, (x²-1)' がかけてあるので置換積分と言 えそうですが,x^-1=(x+1)(x-1) と考えると, (1)と(2)をあわせたような 形をしているので部分積分でもできそうです. (2) Srlogadr (1) f'log(x+1)dx=f'(x+1)′log(x+1) dx = [(x+1)10g(x+1)-∫(x+1)x+ydz =2log2-fdz=2log2-1 注 (+1)' のところを(x) としてしまうと, 一部分が繁雑になります。 ただし, 答えはでてきます. (別解) 96 (3) の II を利用して) f"log(x+1) dr="logrdr=[x(log.x−1)]²= =210g2-|x|=210g2-4 (3) (解Ⅰ)(置換積分で) (2) f₁²rlogadx=²(x²) log xdx -12 flog.xl-Silv2.1/2dr=210g2-12S, zdr 2log 3 (x+1)(x) と考 えるとあとがつらい =210g2-1

３番です。下線部のように積分が取れるんじゃないんですか？

礎問 170 第6章 積分法 93 対数関数の積分 次の定積分の値を求めよ. (1) feloga dx (3) π cos cos xlog (sin x) dx 料明 d.x xlog.x (2) fe²-

２枚目のポイントを知識として持ってるのですが、 ３番のような例外もありますよね？ こんなときどうやって見極めるのですか？ ポイントのようにtをおいて、求められなかったから別の方法を考えるということでしょうか？

礎問 168 第6章 積分法 92 指数関数の積分 次の定積分の値を求めよ. (1) f²e²(e²+ 1)²³ dx (3) Sªxe¯²ª³dx re ja+ 1+0₂00+1-7- gol-Sgol= dx (2) S-₁140 - dz 11te 12

t=cosxとおくと上手くいきますが、 t=sinxとおくと上手くいきませんよね？ どう考えてt=cosxとおけばいいと考えるのですか？

基礎問 154 第6章 積分法 84 tanx の積分 置換積分法を用いて, 不定積分 ∫tanzdz を求めよ. 置換積分の公式は,一般に次のようにかかれます。 精講 ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt (g(x)=t) でも,これでは何のことやら意味がわからない人もいるはずです.そこで の手順を頭に入れておくとよいでしょう. あるxの式g(x) を=t とひとまとめにおくとき, dx のところを dt -=g'(x), すなわち, dx 形式的に dt=g' (x)dx を用いて, dt にかえておく. 置換積分については,このあと 86 以降でもっと詳しく勉強していきます. 解答 Stanzdraineeds において, = cosx=t とおくと, ... COS ポイント 演習問題 84 dt dx tanzdr=-|4 = =-sinx‥. -dt=sinxdx Stan -S4=-log|t|+C =-log|cosx|+C (C:積分定数) tanrdx==log|cosxr|+C 注 これは覚えておくか, いつでも導けるようにしておきましょう. 置換積分法を用いて, dx tan x S 83 を求めよ

解答の、四角で囲んだところが、なぜその範囲になるのかが分かりません。教えて下さると嬉しいです🙇‍♀️

曲線y=3x2 (-√3≦x≦√3)とx軸に平行な直線が異なる2点A, B で 交わるとき, 原点を0として, △OAB の面積の最大値を求めよ。

この問題の(1)なのですが、求めるx座標をmとおき、写真のように求めたのですが、m=1/aも答えとして成り立つのでしょうか？そうでない場合は理由も教えて欲しいです！

=0 まれた よ。 最小 *617 f(x)=x-2x2+x とし, 曲線 y=f(x) 上の点P(a, f(a)) と原点を通る直線をl とする。 ただし, 0<a<1 である。 (1) 曲線 y=f(x) と直線ℓは, OP以外の点Qで交わる。 Qのx座標をα を用いて表せ。 (2) 曲線 y=f(x) と直線ℓで囲まれた2つの図形の面積が等し いとき,定数aの値を求めよ。 ele a) (x-m) = 32²²-22² Ta x³ (atm) x² FamA = 32²-22² +2 係数を比較して、 法と積分法 atm=M=2-9 um=1 I m=//

微分、接線に関する問題についての質問です。 ※添付写真の黄色マーカー箇所が主な疑問点になります。 ■95-(2)の疑問点 ①2t^3-3at^2+a+b=0 は何を表していますか。 　点A(a,b)を通る接線の式なのかなと思ったのですが自信がありません。。 ②「a≠0は... 続きを読む

基礎問 150 第6章 微分法と積分法 95 接線の本数 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, B-t) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) A(α, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし,α> 0, b≠α-α とする. (3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなα, b の値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し ます. だから, (1)の接線にA(α, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです. (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します. 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。 解答 (1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t) ∴.y=(3t²-1)x-2t3 (2) (1) 接線は A(a, b) を通るので 6=(3t2−1)a-2t3 ∴.2t3-3a2+a+b=0....... (*) (*)が異なる2つの実数解をもつので g(t)=2t3-3at2+α+ 6 とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち, ( 極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから 185 7 A(a,b) ↓ す 演