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DO
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重要 例題
71 定義域によって式が異なる関数
00000
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
次の関数のグラスをかけ。
(1) y=f(x)
(2y=f(f(x))
指針
2x
(0≦x<2)
f(x) =
8-2x (2≦x≦4)
利用する
け。
3歳
章
⑧関数とグラフ
定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx, yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxに f(x) を代入した式で、
f(x) <2のとき 2f(x), 2f(x) 4のとき 8-2f(x)
(1) のグラフにおいて, f(x) <2となるxの範囲と, 2f(x) 4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
解答
(2f(x)
(2) f(f(x))=
[8-2f(x)
よって, (1) のグラフから
(0≦f(x)<2)
(2≦f(x)≦4)
0≦x<1のとき f(f(x)) =2f(x)=2.2x=4x
FI
1≦x<2のとき
f(f(x)) =8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
0+
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
3<x≦4のとき
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
=16-4x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(1)
y
4
2
(2)
A. M.
1 2 3 4
0 1 2 3 4
変域ごとにグラフをかく。
< (1) のグラフから, f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦なら
f(x)=8-2x
のように, 2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4 通
りの場合分けが必要に
なってくる。
一考 (2) のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
YA
8から2倍を
引く
4
[2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
右の図で, 黒の太線 細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
一成関数といい, (fof) (x) と書く(詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
4 x
2倍する
■ 関数f(x) (0≦x< 1) を右のように定義するとき,
次の関数のグラフをかけ。
2x
(0≦x<1/21)
f(x)=
(1) y=f(x)
(2)y=f(f(x))
2x-1
-1 (12/1)
