26 少なくとも~、すべての~の証明
48
重要
a. . では実数とする。
(1) abe=1,a+b+c=ab+b+ca のとき, a,b,c
であることを証明せよ。
1000
心のうち少なくとも1つは
#E
のときはすべて1であることを
12
よ。
指針
まず結論を式で表すことを考えると、次のようになる。
13
解答
(1) abeのうち少なくとも1つはである
または 6-1 または cl
a-10またはb-1=0 または c-1=0
(α-1) (b-1) (c-1)=0
******
(2), 6, cはすべて1である←al かつ b=1 かつc=1
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
(a-1)+(b-1)'+(c-1)=0
よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
(1) P=(α-1) (6-1) (c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって α-1=0 または b-1=0 または c-1=0
したがって, a, b, cのうち少なくとも1つは1である。
(2)Q=(a-1)+(6-1)+(c-1)^ とすると
Q=a+b2+c2-2(a+b+c)+3
ここで, (a+b+c)=a+b2+c+2(ab+bc+ca) であ
るから
ゆえに
よって
a+b+c = (a+b+c)-2(ab+bc+ca)
=32-2.3=3
Q=3-2・3+3=0
α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって,a, b, cはすべて1である。
指針 (1) のの方
結論から方針を立てる
ことは,多くの場面で
効な考え方である。
ABC=0
⇔A = 0 または B=
またはC=0
指針(2) の
実数 A に対し A
の方
[等号はA=0のとき
り立つ。]
これを利用した手法です
る。
A'+B'+C2=0
⇔A=B=C=0
練習 a, b, c, dは実数とする。
④ 26
1 1
(1)
a
+ +
b
1
C
athta
のとき,a,b,cのうち、どれか2つの和は
