重要 例題 127 2次方程式の解と数の大小 (3)
00000
方程式x2+ (2-a)x+4-2a=0が-1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
指針
[A] -1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解を含む)
[B] -1<x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ
基本 125 126
ような場合が考えられる。 [B] の場合は、解答の[2]~[4] のように分けて考える。
例題 125,126 同様,D,軸, f(k) が注目点である。
19
*40
解答
判別式をDとし,f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とする。
(
[1]
f(-1)=-a+3,f(1)=-3a+7
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条件は
D=(2-a)-4・1・(42) 0....... ①
2-a
2
=0
D>O
+
②
1
x
[2]
4
2-a
|軸x=-
について
lf(-1)=-α+3> 0
......
①から
ゆえに α6,2≦a
...
a2+4a-12≧0
... ③間(1)=-3a+7> 0
よって (a-2)(a+6)≥0⚫FUCHS
⑤ ②~④を解くと,解は順に -1
+1
1x
7
0<a<4
・⑥,a<3
......
⑦, a<- 3
(8
7
⑤~⑧の共通範囲は 2≦a<
1)
[3] a=3
3
または
[4] a=
って
-a+3=0
ゆえに
このとき、方程式はx2-x-2=0
よって
[4] 解の1つがx=1のときは
f(1)=0
(2
7
-3a+7=0
ゆえに
a=
3
このとき、方程式は
3x2-x2=0
(x+1)(x-2)=0
よって、他の解はx=2となり, 条件を満たさない。
[2]解の1つが1<x<1, 他の解がx<-1 または 1 <xにあ
るための条件はf(-1)(1) 0
って
(a-3)(3a-7)<0
[3] 解の1つがx=-1のときは
.-a+3)(-3a+7) < 0
72
7-3
23
ゆえに
<a<3
3
たない。
f(-1)=0
(1).
6
[⑤ [
..
.. (x-1)(x+2)=0
2
[1], [2] で求めたαの値の範
この値を
-6
0
2734
3
28
a
[4]
r[1]
[2]
7-3
3
a
