例題 2 センター試験本試
a,bを実数とし,xの整式 A,BをA=x²+ax+b, B=x2+x+1とする。た
だし, AとBは等しくないものとする。
(1) 等式 A'+B2=2x+6x3+3x2+cx+d が成り立つとき
b=-1
ウ
1/14-
である。
(2) 等式
a=
となる。
ア
A'-B'=(A-B)(A+B)
a
={(a-1)x+(b-1)}{オ
1x² + (a+
カ ])x+6+1}
を考える。 A-B がx-1 で割り切れるのはキのときであり,また
A+B がx-1 で割り切れるのはクのときである。 よって, A-B と
A+B が同時に x-1 で割り切れることはない。 ただし,キ ク
については,次の⑩~④の中から当てはまるものをそれぞれ1つずつ選べ。
⑩ a+b=0
① a-b=0
② a+b-2=0
③ a+b+4=0 ④ a-b-2=0
したがって, A'-B' が (x-1)' で割り切れるのは, A+B が (x-1)' で割
り切れる場合である。 このとき
b=3
解答
(1) A=x2+ax+b, B=x2+x+1 より
A2+B2
C=
=(x^2+ax+b)^+(x2+x+1) 2
= (x¹+a²x² +b²+2ax³ +2abx+2bx²)
=2x^+2(a+1)x+(a²+2b+3)x2
A'-B'=サシス x(x-1)2
+(x^+x2+1+2x+2x+2x²)
d = I
+2(ab+1)x+62+1
となるから, A'+B'=2x+6x3+3x² +cx+d が成り
立つとき
