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問
42 数列の極限 (II) (無限等比数列)
73
liman=r (収束)
mn+1
注
第n項が
1+2"
(-1)で表される数列の収束, 発散を次の各場
12-00
E
r>1 のとき, limy”は発散しますが,逆数をつくれば0</1/1 <1
となり, lim
合について調べよ .
12-00
'=0 と収束させることができます. 次の(4)も同じ要
(1) r=1
(2) -1<r<1
(3) r>1
(4) r<-1
領です.
精講
等比数列 {r"} の極限,すなわち, limyの値によって次のよ
うになります.
極限値0 (-1<r<1)
極限値1 (r=1)
収束
limr"=
+8
(r>1)
発散
振動する (r≦-1)
この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で
場合分けをすることができます。
しかし、この問題は式が分数の形をしていますから, limr", lim y"+1 を求
めたとしても不定形になる可能性があります.
72-00
12-00
解答
mn+1
an=
1+r"
(r≠-1) とおく.
(1)r=1 のとき, an=1/2
.. liman= =1/2束)
12-00
(2) -1<r<1 のとき, limr" = limy”+1=0 だから,
n→∞
liman=0 (収束)
12-00
(3) r>1のとき, an=-
n→∞
0
0
10 以外の定数
r
分子, 分母をr” でわっ
+1
ておく
01<1だから,lim
=0
71α
(4) r<-1 のとき, an=
+1
-1<1/12<0だから, lim (1)"=0
7→8
r
.. liman=r (収束)
→∞
注 極限を求める問題の解答をかくとき, うかつに lim 記号を分配し
てはいけません.
極限が lim (an+bn) = liman+limb となるのは
liman=a, limbn=β (α, 'B:定数) の形のとき
n→∞
n→∞
すなわち, 数列 {a} と数列{6} がともに収束するときです. だから,
解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません.
ポイント
「極限値0(-1<<1)]
収束
極限値1(r=1)
・limy”=
n→∞
+8
(r>1)
発散
振動する (r≦-1)
・ うかつに lim 記号を分配しない
演習問題 42
第n項が
man+1+1
2n+1
で表される数列の収束, 発散を調べよ.
第4章
