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C154
(240) 第3章 平面上のベクトル
例題 C1.29 垂心の位置ベクトル
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に下ろした垂線の足をK, 頂点Bから辺 ACに下ろした垂線の足をL.
△ABCにおいて, AB=8, BC=7, CA=5 とする. 頂点Cから辺AB
BLとCK の交点をHとする. AB=b, AC=cとして、次の問いに答え
(1) AK, AL を,cを用いて表せ
(2) AHCを用いて表せ.
考え方 (1) AK=kとおき, CK⊥AB より CK・AB=0 を利用して,kの値を求める
(2) B, H, Lは一直線上にあるので, AH= (1-s) AB + SAL とおける.さらに、
解答
Hは線分 CK上の点でもあることを利用する.
(1) △ABCにおいて, 余弦定理より,
82+52 72 1
cos A=-
2.8.5 2
Think
例題
AA
置ベク
(1)
(2)
[考え方
X-MA-TA-IM
K
解答
> b=|b||c|cos A=8.5=202 MA-A
AK-kb <, CK=kb-cAM 01 B
CK⊥AB より CK AB=(kb−c) b=k|b|²-b•c=64k—20=0
5
よって, k=- , AK=56
16
AL=mc とおくと,
_16
BL-mc-b
BL⊥AC より BL AC=(mc-b) c=m/c/2-b-c=25m−20=0
4
よって, m=
m=1 より
AL=4
50 (-1) + x)-DA-M
(2)B,H, Lは一直線上にあるから, BH:HL=s: (1-s)|
とおくと, AH=(1-s)AB+sAL= (1-s)+450
-16(1-5)AKSAC
5SC
6=16
16
11/8(1-5)+/s=1 より
4
=S
ここで,点Hは線分 CK 上にあるから、トイ
4
5~
5
i = 1/6 AK を代入
A
K
11
1=
11->
12
12AAL
L
H
B
1-s/C
「練習
01.00
これを点
be
△ABL→△ACK
注目する三角形
を変える。
注〉 (2)については, AH=sAB+tAC (s, t は実数) とおき, CHAB=0, BH AC=0
から s, tの連立方程式を作り,これを解いて直接求めてもよい
△ABCにおいて, AB = 5, AC=4, ∠A=60°とする
