基本例題100 nを含む式が自然数となる条件
OOOOの
(1) ¥360n が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。
n?
がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
81
40
p.388 基本事項3
CHARTOSOLUTION
素因数分解からスタート
(1) (n の式) が自然数 → (n の式)が平方数(ある自然数の2乗)
→ 素因数分解したとき、各指数がすべて偶数。
nの式が自然数となる条件
(2) 分数の値が自然数 → 分子が分母の倍数
n°が 40=2°5 の倍数, nが 81=3° の倍数であるから, n は2,3. 5を素因
数としてもつ。
(1) V360n が自然数になるには, 360n がある自然数 2)360 | () 2-3-5を変形すると
2-3-2 5
の2乗になればよい。
360 を素因数分解すると
360=2-3-5
1 360 に2-5 を掛けると
2)180
2) 90
3) 45
3) 15
よって、 (自然数)”の形の
最小の自然数にするため
には、2-5を掛ければよ
い。
2*-3°-5=(2?-3-5)?
5
よって,求める自然数nは
(2) 40=2°-5, 81=3' であるから, 求める自然数nは2,3, 5
n=2·5=10
*nは2-5の倍数。 n'は
3* の倍数。
を素因数にもつ。
最小のnを求めるから, a, b, cを自然数として
n=2"-3-5° とおいてよい。
n°_24.3?b.5°e
2-5
が自然数となるための条件は
40
=2-3.5
2a23, 2c21
24.3.5%c
3"
**ャャャ… D
*約分して分母が1にな
る。
が自然数となるための条件は
81
3624
**ャャ* (2)
0, ② を満たす最小の自然数 a, b, cは
a=2, b=D2, c=D1
よって, 求める自然数nは
n=2°-3*-5'=180
