-
![]()
76
bil
高次方程式の虚数解
例題 47
→例題32,42
複素数 3-iが3次方程式x4x2+ax+b=0の解となるような実数の定
数a,b の値を定めよ。また,残りの解を求めよ。 △
Action 虚数解をもつ実数係数の方程式は、 共役な複素数も解であることを用いよ
解法の手順・
1係数がすべて実数であることから,もう1つの解を求める。
2/3 ±iを2解とする2次方程式をつくる。
32 の方程式の左辺を因数にもつことを利用してα, 6の値を求める。
解答
3-i が実数係数の 3次方程式x4x²+ax+b=0の解で
あるから 3+iもこの方程式の解である。
ここで, 3-iと3+ i を解にもつ2次方程式の1つは
x² -{(3-i)+(3+i)}x+(3-i)(3+i) = 0
すなわち
x²-6x+10=0
ut (8 +
よって, x-4x2+ax + b は x2-6x+10で割り切れる。
右の筆算より
商はx+2
余りは
x+2
x² - 6x +10) x³-4x² +
x3-6x2 +
(a+2)x+(b-20)
この余りは0となるから
a +2 = 0, 6-20=0
これを解くと a=-2,6= 20
このとき, 方程式は
(x+2)(x2-6x+10) = 0
ax+b
a=-2,6=20
10x
2x2+(a-10)x + 6
2x² -
12x + 20
(a+2)x + (b-20)
これを解くと
x = -2, 3±i
したがって 求める残りの解は x = -2, 3+i
(別解 1)
3-iが解であるから, x = 3-iを方程式に代入して
(3-i)³-4(3-i)² +a(3-i)+b=0
27-27i+9i²-i³-36+24i-4i²+3a-ai+b=0
(3a+b-14)+(-a-2)i = 0
a,b は実数であるから, 3a+6-14, -α-2も実数である。
J3a+6-14 = 0
よって
\-a-2=0
これを解くと
このとき, 方程式は
左辺を因数分解すると
これを解くと
x=-2,3±i
したがって 求める残りの解は
x-4x²-2x+20 = 0
(x+2)(x2-6x+10) = 0
<Point 参照
x = -2,3+i
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
2-(和)x+(積) = 0
x=3-iを解にもつ2次
方程式は x-3=-i の
両辺を2乗して
x2-6x+9= -1
x2-6x+10 = 0
としてもよい。
「 「割り切れる」
(余り) = 0
◄i² = − 1, ³ = −i
複素数の相等条件を
るために 3a+b-
-α-2 が実数であ
とを明記する。
<P(x)=x-4x-2=
とおくと P(−2)
-2|1 -4
+
-2
-2 12
10
1 -6
