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基本 例題 30 線分のなす角、平行・垂直条件
複素数平面上の3点A(a), B(B), C(y) について
(1)a=1+2i, b=-2+4i, y=2-ai とする。このとき、次のものを求め。
(ア) α=3のとき, ∠BAC の大きさと △ABCの面積
(イ) α=16のとき, ∠CBA の大きさ
(2) α=-1-i, β=i, y=b-2i (b は実数の定数) とする。
(ア) 3点A,B,Cが一直線上にあるように, 6の値を定めよ。
(イ)2直線AB, AC が垂直であるように, 6の値を定めよ。
指針> <BACの偏角∠Bay = arg
a-B
r-β
y-a
B-a
(ア) △ABCの面積は
(1) (ア)
であるから,
(1)
(イ)
Y-α
β-a
r-a
β-α
を計算し, 極形式で表す。
y-a
β-a
に注目する｡
(2) p.41 の基本事項 3 ② ③ が適用できるように, まず
(ア) Y-α
B-a
p.41 基本事項 ③
の計算で出てくるβ-α, y-α の値を使うとよい。
が実数 (BAC= 0 または ² )
(<BAC=)
Bay
A(a)
-AB AC sin ∠BAC ここで,AB=|β-al, AC=|y-
y-a
B-a
■C(y)
を計算し
○重要
・B(β)
CHART 線分のなす角、直線の平行・垂直偏角∠Bur=arg/p-a
r-a
となるように, b の値を定める。
が活躍
(イ) a=16 のとき, y=2-16i であるから
α-β_ 1+2i-(-2+4i)
Y-B 2-16i-(-2+4i)
3-2i
4-20i
(2)
(3-2i)(1+5i)
1+i
4(1-5i)(1+5i) 8
-√2(cos+isin)
Y-α
β-a
よって, ∠CBA の大きさは
8
(b-2i) (−1−i)_6+1-i
=
i-(-1-i)
(b+1-i)(1-2i)_b-1-(2b+3)i
よって
b=-
π
3
2
4
cos ZCBA=
1+2i
B (8)
A(a)
①
(1+2i)(1-2i)
5
(ア) 3点A,B,Cが一直線上にあるための条件は, ① が実数
となることであるから 26+3=0
よって
(イ) 2直線AB, AC が垂直であるための条件は, ① が純虚
数となることであるから 6-1=0 かつ 26+30
ゆえに b=1
BA・BC
|BA||BC|
O
C(7)
x
181
∠A=arg
THIENS
20
ZAO
(イ)にも利用できるよう
に, ∠BACについて調
べる。
da kria?
検討 ベクトルの問題として考える
複素数平面上の点p+gi を座標平面上の点(b, g) とみると,次のようにベクトルの知識を用
いて解くこともできる。
(1) (1) A(1, 2), B(-2, 4), C(2, -16) 3Ł BADA
BA=(3, -2), BC=(4,-20)=4(1,-5)
z=x+yi において
y=0z は実数
x = 0 かつ y = 0
08:BA
⇒zは純虚数
4{3×1-2×(-5)}
(3²+(-2)²×41²+(-5) ² √√2
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1章
4
複素数と図形
