基本 例題 63 2重解をもつ条件
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3次方程式 x+(a-1)x2+(4-α)x-4=0が2重解をもつように、 実数の
定数αの値を定めよ。
CHART & SOLUTION
3次方程式の問題
因数分解して (1次式)×(2次式)へもち込む
x=1 を代入すると成り立つから, 与えられた方程式は
(x-1)g(x)=0g(x)は2次式]の形となる。
ここで,「2重解をもつ」 のは次の2通りで、 場合分けが必要。
[1] 2次方程式g(x)=0が1でない重解をもつ。
[2] x=1が2重解→ g(x) = 0 の解の1つが1で,他の解は1でない。
解答
f(x)=x+(a-1)x2+(4-a)x-4 とすると
基本 61
f(1)=1+(a-1)・12+(4-α) ・1−4=0
よって, f(x) は x-1 を因数にもつから
f(x)=(x-1)(x2+ax+4)
1 a-1 4-a -4
1
a
4
1 a
4
0
■ゆえに, 方程式は (x-1)(x2+ax+4) = 0
したがって x1 = 0 または x2+ax+4= 0
この3次方程式が2重解をもつ条件は,次の[1] または [2]
が成り立つことである。
[1] x2+ax+4=0 が1でない重解をもつ。
判別式をDとすると
D=0 かつ 12+α・1+4=α+5=0
D=α2-16=(a+4)(α-4) 土でも重解
D=0 とするとα=±4 これはα+5≠0 を満たす。
[2] x2+ax+4=0 の1つの解が1, 他の解が1でない。9
x=1 が解であるから
よって
a+5=0
「このとき x2-5x+4=0
12+α・1+4=0
ゆえに
a=-5
よって (x-1)(x-4)=0
これを解いて
x=1,4
したがって他の解が1でないから適する。
別解 次数が最低の
について整理する方
因数分解してもよい。
x-x2+4x-4+α(3
(1)(x2+4)+ax
(x-1)(x2+ax+4
inf. 次のように考
よい。
[2] x2+ax+4=0
1β(1) の
と係数の関係か
1+β=-a,
β=4 は適する
[1], [2] から, 求める定数 αの値は
このとき a=
a=±4,-5
